לוגריתם טבעי - ln (x)

לוגריתם טבעי הוא הלוגריתם לבסיס e של מספר.

• הגדרת לוגריתם טבעית (ln)
• כללים ותכונות של לוגריתם טבעי (ln)
  • נגזרת של לוגריתם טבעי (ln)
  • אינטגרל של לוגריתם טבעי (ln)
• לוגריתם מורכב
• גרף של ln (x)
• טבלת לוגריתמים טבעיים (ln)
• מחשבון לוגריתם טבעי

הגדרת לוגריתם טבעי

מתי

e ^y = x

ואז בסיס הלוגריתם e של x הוא

ln ( x ) = log _e ( x ) = y

 

מתמיד הדואר או מספר אוילר הוא:

ה ≈ 2.71828183

Ln כפונקציה הפוכה של פונקציה מעריכית

פונקציית הלוגריתם הטבעית ln (x) היא הפונקציה ההפוכה של הפונקציה האקספוננציאלית e ^x .

עבור x/ 0,

f ( f ^-1 ( x )) = e ^{ln ( x )} = x

או

f ^-1 ( f ( x )) = ln ( e ^x ) = x

כללים ותכונות טבעיות של לוגריתם

שם החוק	כְּלָל	דוגמא
חוק מוצר	ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )	ln (3 ∙ 7) = ln (3) + ln (7)
שלטון רב	ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )	LN (3 / 7) = ln (3) - ln (7)
שלטון כוח	ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )	ln (2 8 ) = 8 ∙ ln (2)
נגזרת	f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
אינטגרלי	∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C.
מספר המספר השלילי	ln ( x ) אינו מוגדר כאשר x ≤ 0
בין אפס	ln (0) אינו מוגדר
אחד אחד	ln (1) = 0
באינסוף	lim ln ( x ) = ∞, כאשר x → ∞
זהות אוילר	ln (-1) = i π

 

כלל מוצר לוגריתם

הלוגריתם של הכפל של x ו- y הוא סכום הלוגריתם של x ולוגריתם של y.

יומן _b ( x ∙ y ) = יומן _b ( x ) + יומן _b ( y )

לדוגמה:

יומן ₁₀ (3 ∙ 7) = יומן ₁₀ (3) + יומן ₁₀ (7)

כלל מכסת לוגריתם

הלוגריתם של החלוקה של x ו- y הוא ההבדל של הלוגריתם של x והלוגריתם של y.

יומן _b ( x / y ) = יומן _b ( x ) - יומן _b ( y )

לדוגמה:

יומן ₁₀ (3 / 7) = log ₁₀ (3) - יומן ₁₀ (7)

כלל כוח לוגריתם

הלוגריתם של x המועלה לכוחו של y הוא y כפול הלוגריתם של x.

יומן _b ( x ^y ) = y ∙ יומן _b ( x )

לדוגמה:

יומן ₁₀ (2 ⁸ ) = 8 ∙ יומן ₁₀ (2)

נגזרת של לוגריתם טבעי

הנגזרת של פונקציית הלוגריתם הטבעית היא הפונקציה ההדדית.

מתי

f ( x ) = ln ( x )

הנגזרת של f (x) היא:

f ' ( x ) = 1 / x

אינטגרל של לוגריתם טבעי

האינטגרל של פונקציית הלוגריתם הטבעית ניתן על ידי:

מתי

f ( x ) = ln ( x )

האינטגרל של f (x) הוא:

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln של 0

הלוגריתם הטבעי של אפס אינו מוגדר:

ln (0) אינו מוגדר

הגבול ליד 0 ללוגריתם הטבעי של x, כאשר x מתקרב לאפס, הוא מינוס אינסוף:

Ln של 1

הלוגריתם הטבעי של אחד הוא אפס:

ln (1) = 0

Ln של אינסוף

גבול הלוגריתם הטבעי של האינסוף, כאשר x מתקרב לאינסוף שווה לאינסוף:

lim ln ( x ) = ∞, כאשר x → ∞

לוגריתם מורכב

למספר מורכב z:

z = re ^iθ = x + iy

הלוגריתם המורכב יהיה (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

יומן z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x ² + y ² )) + i · ארקטאן ( y / x ))

גרף של ln (x)

ln (x) אינו מוגדר לערכים אמיתיים שאינם חיוביים של x:

טבלת לוגריתמים טבעית

x	ב x
0	לא מוגדר
0 +	- ∞
0.0001	-9.210340
0.001	-6.907755
0.01	-4.605170
0.1	-2.302585
1	0
2	0.693147
e ≈ 2.7183	1
3	1.098612
4	1.386294
5	1.609438
6	1.791759
7	1.945910
8	2.079442
9	2.197225
10	2.302585
20	2.995732
30	3.401197
40	3.688879
50	3.912023
60	4.094345
70	4.248495
80	4.382027
90	4.499810
100	4.605170
200	5.298317
300	5.703782
400	5.991465
500	6.214608
600	6.396930
700	6.551080
800	6.684612
900	6.802395
1000	6.907755
10000	9.210340

 

כללי לוגריתם ►

 

---

ראה גם

• לוגריתם (יומן)
• מחשבון לוגריתם טבעי
• לוגריתם טבעי של אפס
• לוגריתם טבעי של אחד
• לוגריתם טבעי של ה
• לוגריתם טבעי של אינסוף
• לוגריתם טבעי של מספר שלילי
• פונקציה הפוכה
• גרף ln (x)
• שולחן לוגריתם טבעי
• מחשבון לוגריתם
• קבוע