Laplaso transformacija

Laplaso transformacija laiko domeno funkciją paverčia s srities funkcija integruojant nuo nulio iki begalybės

laiko domeno funkcijos, padaugintos iš e ^-st .

Laplaso transformacija naudojama norint greitai rasti diferencialinių lygčių ir integralų sprendimus.

Laiko domeno išvedimas paverčiamas dauginimu iš s s srityje.

Integracija laiko srityje transformuojama į dalijimą s s srityje.

Laplaso transformacijos funkcija

Laplaso transformacija apibrėžiama naudojant operatorių L {}:

$F (s) = \ mathcal {L} \ kairė \ {f (t) \ dešinė \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt$

Atvirkštinę Laplaso transformaciją galima apskaičiuoti tiesiogiai.

Paprastai atvirkštinė transformacija pateikiama iš transformacijų lentelės.

Funkcijos pavadinimas	Laiko domeno funkcija	Laplaso transformacija
Funkcijos pavadinimas	f ( t )	F ( s ) = L { f ( t )}
Nuolatinis	1	$\ frac {1} {s}$
Linijinis	t	$\ frac {1} {s ^ 2}$
Galia	t ⁿ	$\ frac {n!} {s ^ {n + 1}}$
Galia	t ^a	Γ ( 1) ⋅ S ^{- (}¹⁾
Eksponentas	e ^ne	$\ frac {1} {sa}$
Sinusas	nuodėmė ne	$\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}$
Kosinusas	cos ne	$\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}$
Hiperbolinis sinusas	sinh at	$\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}$
Hiperbolinis kosinusas	ch ne	$\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}$
Augantis sinusas	T nuodėmė ne	$\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}$
Augantis kosinusas	t cos at	$\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}$
Gendantis sinusas	e ^-at sin ωt	$\ frac {\ omega} {\ kairė (s + a \ dešinė) ^ 2 + \ omega ^ 2}$
Gendantis kosinusas	e ^-at cos ωt	$\ frac {s + a} {\ kairė (s + a \ dešinė) ^ 2 + \ omega ^ 2}$
Delta funkcija	δ ( t )	1
Delta delta	δ ( ta )	e ^-as

Nuosavybės pavadinimas	Laiko domeno funkcija	Laplaso transformacija	Pakomentuokite
	f ( t )	F ( s )
Linijiškumas	af ( t ) + bg ( t )	aF ( s ) + bG ( s )	a , b yra pastovūs
Mastelio keitimas	f ( at )	$\ frac {1} {a} F \ kairė (\ frac {s} {a} \ dešinė)$	a / 0
„Shift“	e ^-at f ( t )	F ( s + a )
Delsimas	f ( ta )	e ^{- kaip} F ( s )
Išvedimas	$\ frac {df (t)} {dt}$	sF ( s ) - f (0)
N-tasis darinys	$\ frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0) -...- f ^{( n -1)} (0)
Galia	t ⁿ f ( t )	$(-1) ^ n \ frac {d ^ nF (s)} {ds ^ n}$
Integracija	$\ int_ {0} ^ {t} f (x) dx$	$\ frac {1} {s} F (s)$
Abipusis	$\ frac {1} {t} f (t)$	$\ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx$
Konvoliucija	f ( t ) * g ( t )	F ( s ) ⋅ G ( s )	* yra konvoliucijos operatorius
Periodinė funkcija	f ( t ) = f ( t + T )	$\ frac {1} {1-e ^ {- sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- sx} f (x) dx$