Laplasa pārveidošana

Laplasa transformācija laika domēna funkciju pārveido par s-domēna funkciju, integrējot no nulles līdz bezgalībai

laika domēna funkcijas, kas reizināta ar e ^-st .

Laplasa transformāciju izmanto, lai ātri atrastu risinājumus diferenciālvienādojumiem un integrāļiem.

Atvasinājums laika domēnā tiek pārveidots par reizinājumu ar s s domēnā.

Laika domēna integrācija tiek pārveidota par dalīšanu ar s domēnā s.

Laplasa transformācijas funkcija

Laplasa transformācija tiek definēta ar operatoru L {}:

$F (s) = \ mathcal {L} \ pa kreisi \ {f (t) \ pa labi \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt$

Apgriezto Laplasa transformāciju var aprēķināt tieši.

Parasti apgrieztā transformācija tiek dota no transformāciju tabulas.

Funkcijas nosaukums	Laika domēna funkcija	Laplasa transformācija
Funkcijas nosaukums	f ( t )	F ( s ) = L { f ( t )}
Pastāvīgs	1	$\ frac {1} {s}$
Lineāra	t	$\ frac {1} {s ^ 2}$
Jauda	t ⁿ	$\ frac {n!} {s ^ {n + 1}}$
Jauda	t ^a	Γ ( +1) ⋅ s ^{- (}⁺¹⁾
Eksponents	e ^plkst	$\ frac {1} {sa}$
Sine	grēks at	$\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}$
Kosinuss	cos plkst	$\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}$
Hiperboliska sinusa	sinh pie	$\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}$
Hiperboliskais kosinuss	cosh plkst	$\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}$
Aug sinusa	t grēks at	$\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}$
Pieaugošais kosinuss	t cos plkst	$\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}$
Pūstoša sinusa	e ^-at grēks ωt	$\ frac {\ omega} {\ pa kreisi (s + a \ labais) ^ 2 + \ omega ^ 2}$
Pūstošs kosinuss	e ^-at cos ωt	$\ frac {s + a} {\ pa kreisi (s + a \ labais) ^ 2 + \ omega ^ 2}$
Delta funkcija	δ ( t )	1
Aizkavēta delta	δ ( ta )	e- ^kā

Īpašuma nosaukums	Laika domēna funkcija	Laplasa transformācija	Komentēt
	f ( t )	F ( s )
Linearitāte	af ( t ) + bg ( t )	aF ( s ) + bG ( s )	a , b ir nemainīgi
Mēroga maiņa	f ( pie )	$\ frac {1} {a} F \ pa kreisi (\ frac {s} {a} \ pa labi)$	a / 0
Shift	e ^-at f ( t )	F ( s + a )
Kavēšanās	f ( ta )	e ^{- kā} F ( s )
Atvasinājums	$\ frac {df (t)} {dt}$	sF ( s ) - f (0)
N-tas atvasinājums	$\ frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0) -...- f ^{( n -1)} (0)
Jauda	t ⁿ f ( t )	$(-1) ^ n \ frac {d ^ nF (s)} {ds ^ n}$
Integrācija	$\ int_ {0} ^ {t} f (x) dx$	$\ frac {1} {s} F (s)$
Abpusējs	$\ frac {1} {t} f (t)$	$\ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx$
Konversija	f ( t ) * g ( t )	F ( s ) ⋅ G ( s )	* ir konvolūcijas operators
Periodiska funkcija	f ( t ) = f ( t + T )	$\ frac {1} {1-e ^ {- sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- sx} f (x) dx$