Za spremembo osnove iz b v c lahko uporabimo logaritemsko spremembo osnovnega pravila. Osnovni b logaritem x je enak osnovnemu c logaritmu x, deljenemu z osnovnim c logaritmom b:
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
dnevnik 2 (100) = dnevnik 10 (100) / dnevnik 10 (2) = 2 / 0,30103 = 6,64386
dnevnik 3 (50) = dnevnik 8 (50) / dnevnik 8 (3) = 1,8812853 / 0,5283208 = 3,5608766
Dvig b z močjo osnovnega b logaritma x daje x:
(1) x = b log b ( x )
Dvig c z močjo osnovnega c logaritma b daje b:
(2) b = c log c ( b )
Ko vzamemo (1) in zamenjamo b s c log c ( b ) (2), dobimo:
(3) x = b log b ( x ) = ( c log c ( b ) ) log b ( x ) = c log c ( b ) × log b ( x )
Z uporabo dnevnika c () na obeh straneh (3):
log c ( x ) = log c ( c log c ( b ) × log b ( x ) )
Z uporabo pravila moči logaritma :
log c ( x ) = [log c ( b ) × log b ( x )] × log c ( c )
Ker je log c ( c ) = 1
log c ( x ) = log c ( b ) × log b ( x )
Ali
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )