Природни логаритам - лн (к)

Природни логаритам је логаритам базе е броја.

• Дефиниција природног логаритма (лн)
• Правила и својства природног логаритма (лн)
  • Дериват природног логаритма (лн)
  • Интеграл природног логаритма (лн)
• Сложени логаритам
• Графикон лн (к)
• Табела природних логаритама (лн)
• Калкулатор природног логаритма

Дефиниција природног логаритма

Када

е ^и = к

Тада је основни е логаритам к

лн ( к ) = лог _е ( к ) = и

 

Е константа или Ојлеров број је:

е ≈ 2,71828183

Лн као инверзна функција експоненцијалне функције

Функција природног логаритма лн (к) је инверзна функција експоненцијалне функције е ^к .

За к/ 0,

ф ( ф ^-1 ( к )) = е ^{лн ( к )} = к

Или

ф ^-1 ( ф ( к )) = лн ( е ^к ) = к

Правила и својства природног логаритма

Назив правила	Правило	Пример
Правило производа	лн ( к ∙ и ) = лн ( к ) + лн ( и )	лн (3 ∙ 7) = лн (3) + лн (7)
Правило количника	лн ( к / и ) = лн ( к ) - лн ( и )	лн (3 / 7) = лн (3) - лн (7)
Правило моћи	лн ( к и ) = и ∙ лн ( к )	лн (2 8 ) = 8 ∙ лн (2)
У изведеници	ф ( к ) = лн ( к ) ⇒ ф ' ( к ) = 1 / к
У интеграл	∫ лн ( к ) дк = к ∙ (лн ( к ) - 1) + Ц.
У негативном броју	лн ( к ) није дефинисано када је к ≤ 0
нула	лн (0) није дефинисано
У једном	лн (1) = 0
У бесконачности	лим лн ( к ) = ∞, када је к → ∞
Ојлеров идентитет	лн (-1) = и π

 

Логаритамско правило производа

Логаритам множења к и и је збир логаритма к и логаритма и.

лог _б ( к ∙ и ) = лог _б ( к ) + лог _б ( и )

На пример:

лог ₁₀ (3 ∙ 7) = лог ₁₀ (3) + лог ₁₀ (7)

Правило количника логаритма

Логаритам дељења к и и је разлика логаритма к и логаритма и.

лог _б ( к / и ) = лог _б ( к ) - лог _б ( и )

На пример:

лог ₁₀ (3 / 7) = лог ₁₀ (3) - лог ₁₀ (7)

Правило снаге логаритма

Логаритам к подигнут у степен и је и пута логаритма к.

лог _б ( к ^и ) = и ∙ лог _б ( к )

На пример:

лог ₁₀ (2 ⁸ ) = 8 ∙ лог ₁₀ (2)

Дериват природног логаритма

Извод функције природног логаритма је реципрочна функција.

Када

ф ( к ) = лн ( к )

Извод ф (к) је:

ф ' ( к ) = 1 / к

Интеграл природног логаритма

Интеграл функције природног логаритма дат је:

Када

ф ( к ) = лн ( к )

Интеграл ф (к) је:

∫ ф ( к ) дк = ∫ лн ( к ) дк = к ∙ (лн ( к ) - 1) + Ц

Лн од 0

Природни логаритам нуле није дефинисан:

лн (0) није дефинисано

Граница близу 0 природног логаритма к, када се к приближи нули, је минус бесконачност:

Лн од 1

Природни логаритам један је нула:

лн (1) = 0

Лн бесконачности

Граница природног логаритма бесконачности, када се к приближава бесконачности, једнака је бесконачности:

лим лн ( к ) = ∞, када је к → ∞

Сложени логаритам

За комплексни број з:

з = ре ^иθ = к + ии

Сложени логаритам биће (н = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Лог з = лн ( р ) + и ( θ + 2нπ ) = лн (√ ( к ² + и ² )) + и · арктан ( и / к ))

Графикон лн (к)

лн (к) није дефинисан за реалне позитивне вредности к:

Табела природних логаритама

к	лн к
0	недефинисан
0 +	- ∞
0.0001	-9.210340
0,001	-6.907755
0,01	-4.605170
0.1	-2.302585
1	0
2	0.693147
е ≈ 2.7183	1
3	1.098612
4	1.386294
5	1.609438
6	1.791759
7	1.945910
8	2.079442
9	2.197225
10	2.302585
20	2.995732
30	3.401197
40	3.688879
50	3.912023
60	4.094345
70	4.248495
80	4.382027
90	4.499810
100	4.605170
200	5.298317
300	5.703782
400	5.991465
500	6.214608
600	6.396930
700	6.551080
800	6.684612
900	6.802395
1000	6.907755
10000	9.210340

 

Правила логаритма ►

 

---

Такође видети

• Логаритам (дневник)
• Калкулатор природног логаритма
• Природни логаритам нуле
• Природни логаритам један
• Природни логаритам е
• Природни логаритам бесконачности
• Природни логаритам негативног броја
• Лн инверзна функција
• Графикон лн (к)
• Табела природног логаритма
• Логаритамски калкулатор
• е константа