Faltung

Die Faltung ist die Korrelationsfunktion von f (τ) mit der Umkehrfunktion g (t-τ).

Der Faltungsoperator ist das Sternsymbol * .

Die Faltung von f (t) und g (t) ist gleich dem Integral von f (τ) mal f (t-τ):

$f (t) * g (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (\ tau) g (t- \ tau) d \ tau$

Die Faltung von 2 diskreten Funktionen ist definiert als:

$f (n) * g (n) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} f (k) \: g (nk)$

Für die Bildverarbeitung wird üblicherweise eine zweidimensionale diskrete Faltung verwendet.

$f (n, m) * g (n, m) = \ sum_ {j = - \ infty} ^ {\ infty} \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} f (j, k) \: g (nj, mk)$

Wir können das diskrete Eingangssignal x (n) durch Faltung mit der Impulsantwort h (n) filtern, um das Ausgangssignal y (n) zu erhalten.

y ( n ) = x ( n ) · h ( n )

Die Fourier-Transformation einer Multiplikation von 2 Funktionen ist gleich der Faltung der Fourier-Transformationen jeder Funktion:

ℱ { f ⋅ g } = ℱ { f } * ℱ { g }

Die Fourier-Transformation einer Faltung von 2 Funktionen ist gleich der Multiplikation der Fourier-Transformationen jeder Funktion:

ℱ { f * g } = ℱ { f } ⋅ ⋅ { g }

ℱ { f ( t ) ⋅ g ( t )} = ℱ { f ( t )} * ℱ { g ( t )} = F ( ω ) * G ( ω )

ℱ { f ( t ) * g ( t )} = ℱ { f ( t )} ⋅ ⋅ { g ( t )} = F ( ω ) ⋅ G ( ω )

ℱ { f ( n ) ⋅ g ( n )} = ℱ { f ( n )} * ℱ { g ( n )} = F ( k ) * G ( k )

ℱ { f ( n ) * g ( n )} = ℱ { f ( n )} ⋅ ⋅ { g ( n )} = F ( k ) ⋅ G ( k )

ℒ { f ( t ) * g ( t )} = ℒ { f ( t )} ⋅ ⋅ { g ( t )} = F ( s ) ⋅ G ( s )

Siehe auch