Φυσικός λογάριθμος - ln (x)

Ο φυσικός λογάριθμος είναι ο λογάριθμος στη βάση e ενός αριθμού.

Ορισμός του φυσικού λογάριθμου

Πότε

e y = x

Στη συνέχεια, ο βασικός λογάριθμος του x είναι

ln ( x ) = log e ( x ) = y

 

Η σταθερά e ή ο αριθμός Euler είναι:

ε ≈ 2.71828183

Ln ως αντίστροφη συνάρτηση της εκθετικής συνάρτησης

Η φυσική συνάρτηση λογάριθμου ln (x) είναι η αντίστροφη συνάρτηση της εκθετικής συνάρτησης e x .

Για x/ 0,

f ( f -1 ( x )) = e ln ( x ) = x

Ή

f -1 ( f ( x )) = ln ( e x ) = x

Κανόνες και ιδιότητες φυσικού λογάριθμου

Όνομα κανόνα Κανόνας Παράδειγμα
Κανόνας προϊόντος

ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )

ln (3 ∙ 7) = ln (3) + ln (7)
Ποσοτικός κανόνας

ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )

ln (3 / 7) = ln (3) - ln (7)
Κανόνας ισχύος

ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )

ln (2 8 ) = 8 ∙ ln (2)
Παράγωγο
 f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x  
Αναπόσπαστο
 ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C  
αρνητικό αριθμό
 Το ln ( x ) είναι απροσδιόριστο όταν x ≤ 0  
Στο μηδέν
 Το ln (0) είναι απροσδιόριστο  
 
σε ένα
 ln (1) = 0  
Στο άπειρο
 lim ln ( x ) = ∞, όταν x → ∞  
Η ταυτότητα του Euler ln (-1) = i π  

 

Κανόνας προϊόντος λογάριθμου

Ο λογάριθμος του πολλαπλασιασμού των x και y είναι το άθροισμα του λογάριθμου του x και του λογάριθμου του y.

log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )

Για παράδειγμα:

log 10 (3 ∙ 7) = log 10 (3) + log 10 (7)

Κανόνας πηλίκου λογαρίθμου

Ο λογάριθμος της διαίρεσης των x και y είναι η διαφορά του λογάριθμου του x και του λογάριθμου του y.

log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )

Για παράδειγμα:

log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)

Κανόνας ισχύος λογάριθμου

Ο λογάριθμος του x που αυξάνεται στη δύναμη του y είναι y φορές ο λογάριθμος του x.

log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

Για παράδειγμα:

log 10 (2 8 ) = 8 ∙ log 10 (2)

Παράγωγο του φυσικού λογάριθμου

Το παράγωγο της συνάρτησης φυσικού λογάριθμου είναι η αμοιβαία συνάρτηση.

Πότε

f ( x ) = ln ( x )

Το παράγωγο του f (x) είναι:

f ' ( x ) = 1 / x

Ολοκληρωμένο φυσικό λογάριθμο

Το ολοκλήρωμα της συνάρτησης φυσικού λογάριθμου δίνεται από:

Πότε

f ( x ) = ln ( x )

Το ολοκλήρωμα του f (x) είναι:

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln από 0

Ο φυσικός λογάριθμος του μηδέν είναι απροσδιόριστος:

Το ln (0) είναι απροσδιόριστο

Το όριο κοντά στο 0 του φυσικού λογάριθμου του x, όταν το x πλησιάζει το μηδέν, είναι μείον άπειρο:

Ln από 1

Ο φυσικός λογάριθμος ενός είναι μηδέν:

ln (1) = 0

Το άπειρο

Το όριο του φυσικού λογάριθμου του άπειρου, όταν το x πλησιάζει το άπειρο είναι ίσο με το άπειρο:

lim ln ( x ) = ∞, όταν x → ∞

Πολύπλοκος λογάριθμος

Για τον σύνθετο αριθμό z:

z = re iθ = x + iy

Ο σύνθετος λογάριθμος θα είναι (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))

Γράφημα του ln (x)

Το ln (x) δεν ορίζεται για πραγματικές μη θετικές τιμές του x:

Πίνακας φυσικών λογαρίθμων

x στο x
0 απροσδιόριστος
0 + - ∞
0,0001 -9.210340
0,001 -6.907755
0,01 -4.605170
0.1 -2.302585
1 0
2 0,669147
ε ≈ 2.7183 1
3 1.098612
4 1.386294
5 1.609438
6 1.791759
7 1.945910
8 2.079442
9 2.197225
10 2.302585
20 2.995732
30 3.401197
40 3.688879
50 3.912023
60 4.094345
70 4.248495
80 4.382027
90 4.499810
100 4.605170
200 5.298317
300 5.703782
400 5.991465
500 6.214608
600 6.396930
700 6.551080
800 6.684612
900 6.802395
1000 6.907755
10000 9.210340

 

Κανόνες λογάριθμου ►

 

Δείτε επίσης

Advertising

ΑΛΓΕΒΡΑ
ΓΡΗΓΟΡΑ ΠΙΝΑΚΕΣ