Περιελιγμός

Το Convolution είναι η συνάρτηση συσχέτισης του f (τ) με την αντίστροφη συνάρτηση g (t-τ).

Ο χειριστής της συνέλιξης είναι το σύμβολο αστερίσκου * .

Η συνέλιξη των f (t) και g (t) είναι ίση με το ακέραιο των f (τ) φορές f (t-τ):

$f (t) * g (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (\ tau) g (t- \ tau) d \ tau$

Η σύγκλιση 2 διακριτών συναρτήσεων ορίζεται ως:

$f (n) * g (n) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} f (k) \: g (nk)$

Η δισδιάστατη διακριτή συνέλιξη χρησιμοποιείται συνήθως για την επεξεργασία εικόνας.

$f (n, m) * g (n, m) = \ sum_ {j = - \ infty} ^ {\ infty} \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} f (j, k) \: g (nj, mk)$

Μπορούμε να φιλτράρουμε το διακριτό σήμα εισόδου x (n) με συνέλιξη με την παλμική απόκριση h (n) για να πάρουμε το σήμα εξόδου y (n).

y ( n ) = x ( n ) * h ( n )

Ο μετασχηματισμός Fourier ενός πολλαπλασιασμού 2 συναρτήσεων είναι ίσος με την συνελιγμό των μετασχηματισμών Fourier κάθε λειτουργίας:

ℱ { f ⋅ g } = ℱ { f } * ℱ { g }

Ο μετασχηματισμός Fourier μιας συνέλιξης 2 συναρτήσεων ισούται με τον πολλαπλασιασμό των μετασχηματισμών Fourier κάθε λειτουργίας:

F { f * g } = ℱ { f } ⋅ ℱ { g }

F { f ( t ) ⋅ g ( t )} = ℱ { f ( t )} * ℱ { g ( t )} = F ( ω ) * G ( ω )

F { f ( t ) * g ( t )} = ℱ { f ( t )} ⋅ ℱ { g ( t )} = F ( ω ) ⋅ G ( ω )

F { f ( n ) ⋅ g ( n )} = ℱ { f ( n )} * ℱ { g ( n )} = F ( k ) * G ( k )

F { f ( n ) * g ( n )} = ℱ { f ( n )} ⋅ ℱ { g ( n )} = F ( k ) ⋅ G ( k )

F { f ( t ) * g ( t )} = ℒ { f ( t )} ⋅ ℒ { g ( t )} = F ( s ) ⋅ G ( s )

Δείτε επίσης