Logarithme naturel - ln (x)

Le logarithme naturel est le logarithme à la base e d'un nombre.

Définition du logarithme naturel

Quand

e y = x

Alors le logarithme de base e de x est

ln ( x ) = log e ( x ) = y

 

La constante e ou le nombre d'Euler est:

e ≈ 2,71828183

Ln comme fonction inverse de la fonction exponentielle

La fonction logarithmique naturelle ln (x) est la fonction inverse de la fonction exponentielle e x .

Pour x/ 0,

f ( f -1 ( x )) = e ln ( x ) = x

Ou

f -1 ( f ( x )) = ln ( e x ) = x

Règles et propriétés du logarithme naturel

Nom de la règle Règle Exemple
Règle du produit

ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )

ln (3 ∙ 7) = ln (3) + ln (7)
Règle de quotient

ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )

ln (3 / 7) = ln (3) - ln (7)
Règle de puissance

ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )

ln (2 8 ) = 8 ∙ ln (2)
En dérivé
 f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x  
ln intégral
 ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C  
ln de nombre négatif
 ln ( x ) n'est pas défini lorsque x ≤ 0  
ln de zéro
 ln (0) n'est pas défini  
 
dans un
 ln (1) = 0  
dans l'infini
 lim ln ( x ) = ∞, lorsque x → ∞  
L'identité d'Euler ln (-1) = i π  

 

Règle de produit logarithmique

Le logarithme de la multiplication de x et y est la somme du logarithme de x et du logarithme de y.

log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )

Par exemple:

log 10 (3 ∙ 7) = log 10 (3) + log 10 (7)

Règle du quotient logarithmique

Le logarithme de la division de x et y est la différence du logarithme de x et du logarithme de y.

log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )

Par exemple:

log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)

Règle de puissance logarithmique

Le logarithme de x élevé à la puissance y est y fois le logarithme de x.

log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

Par exemple:

log 10 (2 8 ) = 8 ∙ log 10 (2)

Dérivée du logarithme naturel

Le dérivé de la fonction logarithmique naturelle est la fonction réciproque.

Quand

f ( x ) = ln ( x )

La dérivée de f (x) est:

f ' ( x ) = 1 / x

Intégrale du logarithme naturel

L'intégrale de la fonction logarithmique naturelle est donnée par:

Quand

f ( x ) = ln ( x )

L'intégrale de f (x) est:

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln de 0

Le logarithme naturel de zéro n'est pas défini:

ln (0) n'est pas défini

La limite proche de 0 du logarithme naturel de x, lorsque x s'approche de zéro, est moins l'infini:

Ln sur 1

Le logarithme naturel de un est zéro:

ln (1) = 0

Ln de l'infini

La limite du logarithme naturel de l'infini, lorsque x s'approche de l'infini est égale à l'infini:

lim ln ( x ) = ∞, lorsque x → ∞

Logarithme complexe

Pour le nombre complexe z:

z = re iθ = x + iy

Le logarithme complexe sera (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))

Graphique de ln (x)

ln (x) n'est pas défini pour les valeurs réelles non positives de x:

Table des logarithmes naturels

x ln x
0 indéfini
0 + - ∞
0,0001 -9,210340
0,001 -6.907755
0,01 -4.605170
0,1 -2,302585
1 0
2 0,693147
e ≈ 2,7183 1
3 1,098612
4 1,386294
5 1,609438
6 1,791759
7 1,945910
8 2,079442
9 2,197225
10 2.302585
20 2.995732
30 3.401197
40 3.688879
50 3.912023
60 4,094345
70 4.248495
80 4,382027
90 4,499810
100 4.605170
200 5,298317
300 5,703782
400 5,991465
500 6,214608
600 6,396930
700 6,551080
800 6,684612
900 6,802395
1000 6,907755
10 000 9.210340

 

Règles de logarithme ►

 

Voir également

Advertising

ALGÈBRE
TABLES RAPIDES