Règles dérivées

Règles et lois dérivées. Tableau des dérivés des fonctions.

Définition dérivée
Règles dérivées
Tableau des dérivés des fonctions
Exemples dérivés

Définition dérivée

La dérivée d'une fonction est le rapport de la différence de valeur de fonction f (x) aux points x + Δx et x avec Δx, lorsque Δx est infiniment petit. La dérivée est la fonction pente ou pente de la ligne tangente au point x.

$f '(x) = \ lim _ {\ Delta x \ à 0} \ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x}$

Second dérivé

La seconde dérivée est donnée par:

Ou dérivez simplement le premier dérivé:

Nième dérivé

La n ième dérivée est calculée en dérivant f (x) n fois.

Le n ième dérivé est égal au dérivé du dérivé (n-1):

f ^{( n )} ( x ) = [ f ^{( n -1)} ( x )] '

Exemple:

Trouvez le quatrième dérivé de

f ( x ) = 2 x ⁵

f ⁽⁴⁾ ( x ) = [2 x ⁵ ] '' '' = [10 x ⁴ ] '' '= [40 x ³ ]' '= [120 x ² ]' = 240 x

Dérivée sur graphique de fonction

La dérivée d'une fonction est la pente de la ligne tangentielle.

Règles dérivées

Règle de somme dérivée	( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )
Règle du produit dérivé	( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )
Règle du quotient dérivé	$\ gauche (\ frac {f (x)} {g (x)} \ droite) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( X)}$
Règle de chaîne dérivée	f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Règle de somme dérivée

Quand a et b sont des constantes.

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Exemple:

Trouvez le dérivé de:

3 x ² + 4 x.

Selon la règle de la somme:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x ² , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x ² + 4 x ) '= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

Règle du produit dérivé

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Règle du quotient dérivé

$\ gauche (\ frac {f (x)} {g (x)} \ droite) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( X)}$

Règle de chaîne dérivée

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Cette règle peut être mieux comprise avec la notation de Lagrange:

$\ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ cdot \ frac {dg} {dx}$

Fonction d'approximation linéaire

Pour les petits Δx, on peut obtenir une approximation de f (x ₀ + Δx), quand on connaît f (x ₀ ) et f '(x ₀ ):

f ( x ₀ + Δ x ) ≈ f ( x ₀ ) + f '( x ₀ ) ⋅Δ x

Tableau des dérivés des fonctions

Nom de la fonction	Fonction	Dérivé
Nom de la fonction	f ( x )	f '( x )
Constant	const	0
Linéaire	x	1
Puissance	x ^a	hache ^a-¹
Exponentiel	e ^x	e ^x
Exponentiel	un ^x	a ^x ln a
Un algorithme naturel	ln ( x )
Logarithme	log _b ( x )
Sinus	sin x	cos x
Cosinus	cos x	-sin x
Tangente	bronzage x
Arcsine	arcsin x
Arccosine	arccos x
Arc tangent	arctan x
Sinus hyperbolique	sinh x	cosh x
Cosinus hyperbolique	cosh x	sinh x
Tangente hyperbolique	tanh x
Sinus hyperbolique inverse	sinh ^-1 x
Cosinus hyperbolique inverse	cosh ^-1 x
Tangente hyperbolique inverse	tanh ^-1 x