Logaritmusszabályok

A bázis b logaritmus egy szám a kitevő , hogy meg kell emelni a bázis annak érdekében, hogy a számot.

Logaritmus meghatározása

Ha b-t y hatványára emeljük, egyenlő x:

b y = x

Ekkor x b b logaritmusa megegyezik y-vel:

log b ( x ) = y

Például, ha:

2 4 = 16

Akkor

log 2 (16) = 4

Logaritmus, mint az exponenciális függvény inverz függvénye

A logaritmikus függvény,

y = log b ( x )

az exponenciális függvény inverz függvénye,

x = b y

Tehát ha kiszámítjuk az x (x/ 0) logaritmusának exponenciális függvényét,

f ( f -1 ( x )) = b log b ( x ) = x

Vagy ha kiszámítjuk az x exponenciális függvényének logaritmusát,

f -1 ( f ( x )) = log b ( b x ) = x

Természetes logaritmus (ln)

A természetes logaritmus az e bázis logaritmusa:

ln ( x ) = log e ( x )

Amikor e konstans a szám:

e = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ bal (1+ \ frac {1} {x} \ right) ^ x = 2.718281828459 ...

vagy

e = \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ bal (1+ \ right x) ^ \ frac {1} {x}

 

Lásd: Természetes logaritmus

Inverz logaritmus számítása

Az inverz logaritmust (vagy antilogaritmust) úgy számoljuk ki, hogy a b alapot y logaritmusra emeljük:

x = log -1 ( y ) = b y

Logaritmikus függvény

A logaritmikus függvény alapformája:

f ( x ) = log b ( x )

A logaritmus szabályai

Szabály neve Szabály
Logaritmus termékszabály
 log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Logaritmus hányados szabály
 log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Logaritmus teljesítményszabálya
 log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Logaritmus alapkapcsoló szabály
 log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Logaritmus alapváltoztatási szabály
 log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
A logaritmus származéka
 f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))
A logaritmus integrálja
 ∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Negatív szám logaritmusa
 log b ( x ) nincs meghatározva, ha x ≤ 0
0 logaritmusa
 log b (0) nincs meghatározva
\ lim_ {x \ to 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty
Az 1 logaritmusa
 log b (1) = 0
Az alap logaritmusa
 log b ( b ) = 1
A végtelenség logaritmusa
 lim log b ( x ) = ∞, amikor x → ∞

Lásd: Logaritmusszabályok

 

Logaritmus termékszabály

Az x és y szorzásának logaritmusa az x és y logaritmusának összege.

log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )

Például:

log 10 (3 ∙ 7) = log 10 (3) + log 10 (7)

Logaritmus hányados szabály

Az x és y felosztásának logaritmusa az x és y logaritmusának különbsége.

log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )

Például:

log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)

Logaritmus teljesítményszabálya

Az y hatványára emelt x logaritmusa y szorzója az x logaritmusának.

log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

Például:

log 10 (2 8 ) = 8 ∙ log 10 (2)

Logaritmus alapkapcsoló szabály

A c b b logaritmusa 1 osztva a b b b logaritmusával.

log b ( c ) = 1 / log c ( b )

Például:

log 2 (8) = 1 / log 8 (2)

Logaritmus alapváltoztatási szabály

Az x b b logaritmusa az x b alap logaritmusa elosztva a b b alap c logaritmusával.

log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )

Például ahhoz, hogy kiszámítsuk a 2. naplót (8) a számológépben, meg kell változtatnunk az alapot 10-re:

log 2 (8) = log 10 (8) / log 10 (2)

Lásd: naplóalap-változtatási szabály

Negatív szám logaritmusa

Az x b valós logaritmusa, amikor x <= 0, nincs meghatározva, ha x negatív vagy egyenlő nulla:

log b ( x ) nincs meghatározva, ha x ≤ 0

Lásd: negatív szám log

0 logaritmusa

A nulla b b logaritmusa nincs meghatározva:

log b (0) nincs meghatározva

Az x b b logaritmus határértéke, amikor x megközelíti a nullát, mínusz a végtelen:

\ lim_ {x \ to 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty

Lásd: nulla log

Az 1 logaritmusa

Az egyik b b logaritmusa nulla:

log b (1) = 0

Például az egyik két logaritmusa nulla:

log 2 (1) = 0

Lásd: egy naplója

A végtelenség logaritmusa

Az x b b logaritmus határértéke, amikor x megközelíti a végtelenséget, megegyezik a végtelennel:

lim log b ( x ) = ∞, amikor x → ∞

Lásd: a végtelen naplója

Az alap logaritmusa

B alap b logaritmusa egy:

log b ( b ) = 1

Például a két alap két logaritmusa egy:

log 2 (2) = 1

Logaritmusszármazék

Mikor

f ( x ) = log b ( x )

Ezután az f (x) deriváltja:

f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))

Lásd: log derivált

Logaritmus integrál

Az x logaritmusának integrálja:

∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C

Például:

∫ log 2 ( x ) dx = x ∙ (log 2 ( x ) - 1 / ln (2) ) + C

Logaritmus közelítés

log 2 ( x ) ≈ n + ( x / 2 n - 1),

Komplex logaritmus

Z komplex szám esetén:

z = re iθ = x + iy

A komplex logaritmus a következő lesz (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))

Logaritmusproblémák és válaszok

1. probléma

Keresse meg az x elemet

log 2 ( x ) + log 2 ( x -3) = 2

Megoldás:

A termékszabály használata:

log 2 ( x ∙ ( x -3)) = 2

A logaritmus űrlap megváltoztatása a logaritmus meghatározása szerint:

x ∙ ( x -3) = 2 2

Vagy

x 2 -3 x -4 = 0

A másodfokú egyenlet megoldása:

x 1,2 = [3 ± √ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4, -1

Mivel a logaritmus nincs meghatározva negatív számokra, a válasz a következő:

x = 4

2. probléma

Keresse meg az x elemet

log 3 ( x +2) - log 3 ( x ) = 2

Megoldás:

A hányados szabály használata:

log 3 (( x +2) / x ) = 2

A logaritmus űrlap megváltoztatása a logaritmus meghatározása szerint:

( x +2) / x = 3 2

Vagy

x +2 = 9 x

Vagy

8 x = 2

Vagy

x = 0,25

A napló grafikonja (x)

A log (x) nincs meghatározva az x valós, nem pozitív értékeihez:

Logaritmus táblázat

x log 10 x log 2 x log e x
0 határozatlan határozatlan határozatlan
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13.287712 -9,210340
0,001 -3 -9,965784 -6,907755
0,01 -2 -6,643856 -4,605170
0.1 -1 -3,321928 -2,302585
1 0 0 0
2 0,301030 1 0.693147
3 0.477121 1.584963 1.098612
4 0,602060 2 1.386294
5. 0.698970 2.321928 1.609438
6. 0.778151 2.584963 1,791759
7. 0,845098 2.807355 1.945910
8. 0,903090 3 2.079442
9. 0,954243 3.169925 2.197225
10. 1 3.321928 2.302585
20. 1.301030 4.321928 2.995732
30. 1.477121 4.906891 3.401197
40 1.602060 5.321928 3.688879
50 1.698970 5.643856 3.912023
60 1.778151 5.906991 4.094345
70 1,845098 6.129283 4.248495
80 1.903090 6.321928 4.382027
90 1.954243 6.491853 4.499810
100 2 6.643856 4.605170
200 2.301030 7.643856 5.298317
300 2.477121 8.228819 5.703782
400 2.602060 8.643856 5.991465
500 2.698970 8.965784 6.214608
600 2.778151 9.228819 6.396930
700 2.845098 9.451211 6.551080
800 2.903090 9.643856 6.684612
900 2.954243 9.813781 6.802395
1000 3 9.965784 6.907755
10000 4 13.287712 9.210340

 

Logaritmus kalkulátor ►

 

Lásd még

Advertising

ALGEBRA
GYORS TÁBLÁZATOK