व्युत्पन्न नियम

व्युत्पन्न नियम आणि कायदे. फंक्शन्स टेबलचे डेरिव्हेटिव्ह्ज.

• व्युत्पन्न व्याख्या
• व्युत्पन्न नियम
• फंक्शन्स टेबलचे डेरिव्हेटिव्ह्ज
• व्युत्पन्न उदाहरणे

व्युत्पन्न व्याख्या

फंक्शनचे व्युत्पन्न हे बिंदू x + Δx आणि x सह xx सह फंक्शन व्हॅल्यू एफ (एक्स) च्या फरकचे गुणोत्तर असते, जेव्हा infx अनंतच लहान असते. व्युत्पन्न बिंदू x वरील टेंगेंट लाइनचा फंक्शन उतार किंवा उतार आहे.

 

द्वितीय व्युत्पन्न

द्वितीय व्युत्पन्न दिले आहेः

किंवा फक्त प्रथम व्युत्पन्न:

Nth व्युत्पन्न

N व्या साधित f (x) एन वेळा असत करून गणना केली जाते.

N व्या भैदिज आहे (n-1) साधित व्युत्पन्न तुलना:

f ^{( n )} ( x ) = [ f ^{( n -1)} ( x )] '

उदाहरणः

चा चौथा व्युत्पन्न शोधा

f ( x ) = 2 x ⁵

f ⁽⁴⁾ ( x ) = [2 x ⁵ ] '' '' = [10 x ⁴ ] '' '= [40 x ³ ]' '= [120 x ² ]' = 240 x

फंक्शनच्या आलेखावर व्युत्पन्न

फंक्शनचे व्युत्पन्न म्हणजे स्पर्शिका रेषाचा उतार.

व्युत्पन्न नियम

व्युत्पन्न योग नियम	( एएफ ( एक्स ) + बीजी ( एक्स )) '= एफ' ( एक्स ) + बीजी ' ( एक्स )
व्युत्पन्न उत्पादनाचा नियम	( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )
व्युत्पन्न भागांचा नियम
व्युत्पन्न साखळी नियम	f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

व्युत्पन्न योग नियम

जेव्हा अ आणि ब स्थिर असतात.

( एएफ ( एक्स ) + बीजी ( एक्स )) '= एफ' ( एक्स ) + बीजी ' ( एक्स )

उदाहरणः

चे व्युत्पन्न शोधा:

3 x ² + 4 x

बेरीज नियमानुसारः

a = 3, बी = 4

f ( x ) = x ² , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x ² + 4 x ) '= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

व्युत्पन्न उत्पादनाचा नियम

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

व्युत्पन्न भागांचा नियम

व्युत्पन्न साखळी नियम

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

हा नियम लाग्रेंजच्या नोटेशनसह अधिक चांगल्या प्रकारे समजू शकतो:

फंक्शन रेषीय अंदाजे

लहान Δx साठी, आम्हाला f (x ₀ + Δx) चे जवळपास मिळू शकते , जेव्हा आपल्याला f (x ₀ ) आणि f '(x ₀ ) माहित असते :

f ( x ₀ + Δ x ) ≈ f ( x ₀ ) + f '( x ₀ ) ⋅Δ x

फंक्शन्स टेबलचे डेरिव्हेटिव्ह्ज

कार्य नाव	कार्य	व्युत्पन्न
	f ( x )	f '( x )
सतत	कॉन्स	0
रेखीय	x	1
शक्ती	x अ	कुर्हाड a- 1
घातांकीय	ई एक्स	ई एक्स
घातांकीय	एक x	एक एक्स एलएन ए
नैसर्गिक लॉगरिदम	एलएन ( एक्स )
लोगारिदम	लॉग ब ( x )
साईन	sin x	कॉक्स एक्स
कोझिन	कॉक्स एक्स	-सिन x
स्पर्शिका	टॅन एक्स
आर्केसिन	आर्क्सिन एक्स
आर्कोझिन	आर्ककोस एक्स
आर्क्टेंजंट	आर्कटान x
हायपरबोलिक साइन	sinh x	कॉश एक्स
हायपरबोलिक कोसाइन	कॉश एक्स	sinh x
हायपरबोलिक टॅन्जेन्ट	तान्ह x
व्यस्त हायपरबोलिक साइन	sinh -1 x
व्यस्त हायपरबोलिक कोसाइन	कोश -1 x
व्यस्त हायपरबोलिक स्पर्शिका	तान्ह -1 x

व्युत्पन्न उदाहरणे

उदाहरण # 1

f ( x ) = x ³ +5 x ² + x +8

f ' ( x ) = 3 x ² + 2⋅5 x + 1 + 0 = 3 x ² +10 x +1

उदाहरण # 2

f ( x ) = sin (3 x ² )

साखळी नियम लागू करताना:

f ' ( x ) = कॉस (3 x ² ) ⋅ [3 x ² ]' = कॉस (3 x ² ) ⋅ 6 x

दुसरी साधित चाचणी

जेव्हा कार्याचे प्रथम व्युत्पन्न बिंदू x ₀ वर शून्य असते .

f '( x ₀ ) = 0

तर बिंदू x ₀ , f '' (x ₀ ) वरील दुसरा व्युत्पन्न त्या बिंदूचा प्रकार दर्शवू शकतोः

 

f '' ( x 0 )/ 0	स्थानिक किमान
f '' ( x 0 ) <0	स्थानिक कमाल
f '' ( x 0 ) = 0	निर्धारित

 

---

हे देखील पहा

• कॅल्क्युलस
• लॅपलेस ट्रान्सफॉर्म ( ℒ  )
• कॅल्क्युलस चिन्हे