Laplace-transformatie

Laplace-transformatie converteert een tijddomeinfunctie naar een s-domeinfunctie door integratie van nul tot oneindig

van de tijddomeinfunctie, vermenigvuldigd met e ^-st .

De Laplace-transformatie wordt gebruikt om snel oplossingen te vinden voor differentiaalvergelijkingen en integralen.

Afleiding in het tijdsdomein wordt omgezet in vermenigvuldiging met s in het s-domein.

Integratie in het tijdsdomein wordt getransformeerd naar deling door s in het s-domein.

Laplace-transformatiefunctie

De Laplace-transformatie wordt gedefinieerd met de L {} - operator:

$F (s) = \ mathcal {L} \ left \ {f (t) \ right \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt$

De inverse Laplace-transformatie kan direct worden berekend.

Gewoonlijk wordt de inverse transformatie gegeven vanuit de transformatietabel.

Functienaam	Tijdsdomein functie	Laplace-transformatie
Functienaam	f ( t )	F ( s ) = L { f ( t )}
Constante	1	$\ frac {1} {s}$
Lineair	t	$\ frac {1} {s ^ 2}$
Kracht	t ⁿ	$\ frac {n!} {s ^ {n + 1}}$
Kracht	t ^een	Γ ( een +1) ⋅ s ^{- ( een +1)}
Exponent	e ^bij	$\ frac {1} {sa}$
Sinus	zonde bij	$\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}$
Cosinus	cos bij	$\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}$
Hyperbolische sinus	sinh bij	$\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}$
Hyperbolische cosinus	cosh op	$\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}$
Groeiende sinus	t zonde bij	$\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}$
Groeiende cosinus	t cos bij	$\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}$
Rottende sinus	e ^-at sin ωt	$\ frac {\ omega} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}$
Afnemende cosinus	e ^-at cos ωt	$\ frac {s + a} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}$
Delta-functie	δ ( t )	1
Vertraagde delta	δ ( ta )	e ^-as

Eigendomsnaam	Tijdsdomein functie	Laplace-transformatie	Commentaar
	f ( t )	F ( s )
Lineariteit	af ( t ) + bg ( t )	aF ( s ) + bG ( s )	a , b zijn constant
Schaalverandering	f ( bij )	$\ frac {1} {a} F \ left (\ frac {s} {a} \ right)$	een / 0
Verschuiving	e ^-at f ( t )	F ( s + a )
Vertraging	f ( ta )	e ^{- als} F ( s )
Afleiding	$\ frac {df (t)} {dt}$	sF ( s ) - f (0)
N-de afleiding	$\ frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0) -...- f ^{( n -1)} (0)
Kracht	t ⁿ f ( t )	$(-1) ^ n \ frac {d ^ nF (s)} {ds ^ n}$
Integratie	$\ int_ {0} ^ {t} f (x) dx$	$\ frac {1} {s} F (s)$
Wederzijds	$\ frac {1} {t} f (t)$	$\ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx$
Convolutie	f ( t ) * g ( t )	F ( s ) ⋅ G ( s )	* is de convolutie-operator
Periodieke functie	f ( t ) = f ( t + T )	$\ frac {1} {1-e ^ {- sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- sx} f (x) dx$