Logarytm naturalny - ln (x)

Logarytm naturalny to logarytm podstawy e liczby.

• Definicja logarytmu naturalnego (ln)
• Zasady i właściwości logarytmu naturalnego (ln)
  • Pochodna logarytmu naturalnego (ln)
  • Całka logarytmu naturalnego (ln)
• Złożony logarytm
• Wykres ln (x)
• Tablica logarytmów naturalnych (ln)
• Kalkulator logarytmu naturalnego

Definicja logarytmu naturalnego

Gdy

e ^y = x

Wtedy logarytm o podstawie e x jest

ln ( x ) = log _e ( x ) = y

 

Stały e lub liczba Eulera wynosi:

e ≈ 2,71828183

Ln jako funkcja odwrotna funkcji wykładniczej

Funkcja logarytmu naturalnego ln (x) jest funkcją odwrotną funkcji wykładniczej e ^x .

Dla x/ 0,

f ( f ^-1 ( x )) = e ^{ln ( x )} = x

Lub

f ^-1 ( f ( x )) = ln ( e ^x ) = x

Zasady i własności logarytmu naturalnego

Nazwa reguły	Reguła	Przykład
Reguła dotycząca produktu	ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )	ln (3 ∙ 7) = ln (3) + ln (7)
Reguła ilorazowa	ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )	ln (3 / 7) = ln (3), - ln (7)
Reguła władzy	ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )	ln (2 8 ) = 8 ∙ ln (2)
W pochodnej	f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
W całce	∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C
ln liczby ujemnej	ln ( x ) jest niezdefiniowane, gdy x ≤ 0
ln od zera	ln (0) jest niezdefiniowane
W jednym	ln (1) = 0
W nieskończoności	lim ln ( x ) = ∞, gdy x → ∞
Tożsamość Eulera	ln (-1) = i π

 

Reguła iloczynu logarytmicznego

Logarytm mnożenia x i y jest sumą logarytmu x i logarytmu y.

log _b ( x ∙ y ) = log _b ( x ) + log _b ( y )

Na przykład:

log ₁₀ (3 ∙ 7) = log ₁₀ (3) + log ₁₀ (7)

Reguła ilorazu logarytmu

Logarytm z dzielenia xiy jest różnicą logarytmu z x i logarytmu z y.

log _b ( x / y ) = log _b ( x ) - log _b ( y )

Na przykład:

log ₁₀ (3 / 7) = log ₁₀ (3) - log ₁₀ (7)

Reguła potęgi logarytmów

Logarytm x podniesiony do potęgi y to y razy logarytm z x.

log _b ( x ^y ) = y ∙ log _b ( x )

Na przykład:

log ₁₀ (2 ⁸ ) = 8 ∙ log ₁₀ (2)

Pochodna logarytmu naturalnego

Pochodną funkcji logarytmu naturalnego jest funkcja odwrotna.

Gdy

f ( x ) = ln ( x )

Pochodna f (x) to:

f ' ( x ) = 1 / x

Całka logarytmu naturalnego

Całka funkcji logarytmu naturalnego jest dana wzorem:

Gdy

f ( x ) = ln ( x )

Całka funkcji f (x) to:

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln z 0

Logarytm naturalny zera jest niezdefiniowany:

ln (0) jest niezdefiniowane

Granica w pobliżu 0 logarytmu naturalnego z x, gdy x zbliża się do zera, wynosi minus nieskończoność:

Ln z 1

Logarytm naturalny jedynki wynosi zero:

ln (1) = 0

Ln nieskończoności

Granica logarytmu naturalnego nieskończoności, gdy x zbliża się do nieskończoności, jest równa nieskończoności:

lim ln ( x ) = ∞, gdy x → ∞

Złożony logarytm

Dla liczby zespolonej z:

z = re ^iθ = x + iy

Złożony logarytm wyniesie (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x ² + y ² )) + i · arctan ( y / x ))

Wykres ln (x)

ln (x) nie jest zdefiniowane dla rzeczywistych niedodatnich wartości x:

Tablica logarytmów naturalnych

x	ln x
0	nieokreślony
0 +	- ∞
0,0001	-9,210340
0,001	-6.907755
0,01	-4,605170
0.1	-2,302585
1	0
2	0.693147
e ≈ 2,7183	1
3	1.098612
4	1.386294
5	1.609438
6	1.791759
7	1.945910
8	2.079442
9	2.197225
10	2.302585
20	2.995732
30	3.401197
40	3.688879
50	3,912023
60	4.094345
70	4.248495
80	4.382027
90	4.499810
100	4.605170
200	5.298317
300	5.703782
400	5,991465
500	6.214608
600	6.396930
700	6.551080
800	6.684612
900	6.802395
1000	6.907755
dziesięć tysięcy	9.210340

 

Zasady logarytmu ►

 

---

Zobacz też

• Logarytm (log)
• Kalkulator logarytmu naturalnego
• Logarytm naturalny zera
• Logarytm naturalny jedynki
• Logarytm naturalny e
• Logarytm naturalny nieskończoności
• Logarytm naturalny liczby ujemnej
• Ln funkcja odwrotna
• Wykres ln (x)
• Tablica logarytmu naturalnego
• Kalkulator logarytmów
• e stała