Reguły pochodne

Pochodne reguły i prawa. Pochodne tabeli funkcji.

Definicja pochodna
Reguły pochodne
Pochodne tabeli funkcji
Pochodne przykłady

Definicja pochodna

Pochodna funkcji jest stosunkiem różnicy wartości funkcji f (x) w punktach x + Δx ix z Δx, gdy Δx jest nieskończenie mała. Pochodna jest funkcją nachylenia lub nachylenia stycznej w punkcie x.

$f '(x) = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x}$

Druga pochodna

Drugą pochodną jest:

Lub po prostu wyprowadź pierwszą pochodną:

N-ta pochodna

N p pochodnej jest obliczana poprzez wyprowadzenie F (x) n razy.

Gdy n TH pochodne równej pochodna (n-1), pochodną:

f ^{( n )} ( x ) = [ f ^{( n -1)} ( x )] ”

Przykład:

Znajdź czwartą pochodną funkcji

f ( x ) = 2 x ⁵

f ⁽⁴⁾ ( x ) = [2 x ⁵ ] '' '' = [10 x ⁴ ] '' '= [40 x ³ ]' '= [120 x ² ]' = 240 x

Pochodna na wykresie funkcji

Pochodną funkcji jest nachylenie linii stycznej.

Reguły pochodne

Reguła sum pochodnych	( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )
Reguła iloczynu pochodnego	( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )
Reguła pochodna ilorazu	$\ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}$
Reguła łańcucha pochodnego	f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Reguła sum pochodnych

Gdy a i b są stałymi.

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Przykład:

Znajdź pochodną:

3 x ² + 4 x.

Zgodnie z zasadą sumy:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x ² , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x ² + 4 x ) '= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

Reguła iloczynu pochodnego

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Reguła pochodna ilorazu

$\ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}$

Reguła łańcucha pochodnego

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Tę regułę można lepiej zrozumieć za pomocą notacji Lagrange'a:

$\ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ cdot \ frac {dg} {dx}$

Aproksymacja liniowa funkcji

Dla małego Δx możemy uzyskać przybliżenie do f (x ₀ + Δx), gdy znamy f (x ₀ ) if '(x ₀ ):

f ( x ₀ + Δ x ) ≈ f ( x ₀ ) + f '( x ₀ ) ⋅Δ x

Pochodne tabeli funkcji

Nazwa funkcji	Funkcjonować	Pochodna
Nazwa funkcji	f ( x )	f '( x )
Stały	konst	0
Liniowy	x	1
Moc	x ^a	topór ^a-¹
Wykładniczy	e ^x	e ^x
Wykładniczy	a ^x	a ^x ln a
Naturalny logarytm	ln ( x )
Logarytm	log _b ( x )
Sinus	sin x	cos x
Cosinus	cos x	-sin x
Tangens	tan x
Arcsine	arcsin x
Arccosine	arccos x
Arctangent	arctan x
Sinus hiperboliczny	sinh x	cosh x
Cosinus hiperboliczny	cosh x	sinh x
Styczna hiperboliczna	tanh x
Odwrotny sinus hiperboliczny	sinh ^-1 x
Odwrotny cosinus hiperboliczny	cosh ^-1 x
Odwrotna styczna hiperboliczna	tanh ^-1 x