Convoluţie

Convoluția este funcția de corelație a lui f (τ) cu funcția inversată g (t-τ).

Operatorul de convoluție este simbolul asteriscului * .

Convoluția lui f (t) și g (t) este egală cu integralul f (τ) ori f (t-τ):

$f (t) * g (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (\ tau) g (t- \ tau) d \ tau$

Convoluția a 2 funcții discrete este definită ca:

$f (n) * g (n) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} f (k) \: g (nk)$

Convoluția discretă bidimensională este de obicei utilizată pentru procesarea imaginilor.

$f (n, m) * g (n, m) = \ sum_ {j = - \ infty} ^ {\ infty} \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} f (j, k) \: g (nj, mk)$

Putem filtra semnalul discret de intrare x (n) prin convoluție cu răspunsul la impuls h (n) pentru a obține semnalul de ieșire y (n).

y ( n ) = x ( n ) * h ( n )

Transformata Fourier a unei multiplicări a 2 funcții este egală cu convoluția transformatelor Fourier ale fiecărei funcții:

ℱ { f ⋅ g } = ℱ { f } * ℱ { g }

Transformata Fourier a unei convoluții a 2 funcții este egală cu înmulțirea transformatelor Fourier ale fiecărei funcții:

ℱ { f * g } = ℱ { f } ⋅ ℱ { g }

ℱ { f ( t ) ⋅ g ( t )} = ℱ { f ( t )} * ℱ { g ( t )} = F ( ω ) * G ( ω )

ℱ { f ( t ) * g ( t )} = ℱ { f ( t )} ⋅ ℱ { g ( t )} = F ( ω ) ⋅ G ( ω )

ℱ { f ( n ) ⋅ g ( n )} = ℱ { f ( n )} * ℱ { g ( n )} = F ( k ) * G ( k )

ℱ { f ( n ) * g ( n )} = ℱ { f ( n )} ⋅ ℱ { g ( n )} = F ( k ) ⋅ G ( k )

ℒ { f ( t ) * g ( t )} = ℒ { f ( t )} ⋅ ℒ { g ( t )} = F ( s ) ⋅ G ( s )

Vezi si