Konvolúcia

Konvolúcia je korelačná funkcia f (τ) s obrátenou funkciou g (t-τ).

Konvolučný operátor je symbol hviezdičky * .

Konvolúcia f (t) a g (t) sa rovná integrálu f (τ) krát f (t-τ):

$f (t) * g (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (\ tau) g (t- \ tau) d \ tau$

Konvolúcia 2 samostatných funkcií je definovaná ako:

$f (n) * g (n) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} f (k) \: g (nk)$

Na spracovanie obrazu sa zvyčajne používa dvojrozmerná diskrétna konvolúcia.

$f (n, m) * g (n, m) = \ sum_ {j = - \ infty} ^ {\ infty} \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} f (j, k) \: g (nj, mk)$

Diskrétny vstupný signál x (n) môžeme filtrovať konvolúciou s impulznou odozvou h (n), aby sme dostali výstupný signál y (n).

y ( n ) = x ( n ) * h ( n )

Fourierova transformácia násobenia 2 funkcií sa rovná konvolúcii Fourierových transformácií každej funkcie:

ℱ { f ⋅ g } = ℱ { f } * ℱ { g }

Fourierova transformácia konvolúcie 2 funkcií sa rovná násobeniu Fourierovej transformácie každej funkcie:

ℱ { f * g } = ℱ { f } ⋅ ℱ { g }

ℱ { f ( t ) ⋅ g ( t )} = ℱ { f ( t )} * ℱ { g ( t )} = F ( ω ) * G ( ω )

ℱ { f ( t ) * g ( t )} = ℱ { f ( t )} ⋅ ℱ { g ( t )} = F ( ω ) ⋅ G ( ω )

ℱ { f ( n ) ⋅ g ( n )} = ℱ { f ( n )} * ℱ { g ( n )} = F ( k ) * G ( k )

ℱ { f ( n ) * g ( n )} = ℱ { f ( n )} ⋅ ℱ { g ( n )} = F ( k ) ⋅ G ( k )

ℒ { f ( t ) * g ( t )} = ℒ { f ( t )} ⋅ ℒ { g ( t )} = F ( s ) ⋅ G ( s )

Pozri tiež