Convolution

Tích phân là hàm tương quan của f (τ) với hàm ngược g (t-τ).

Toán tử tích chập là ký hiệu dấu sao * .

Tích phân của f (t) và g (t) bằng tích phân của f (τ) nhân với f (t-τ):

$f (t) * g (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (\ tau) g (t- \ tau) d \ tau$

Phép biến đổi của 2 hàm rời rạc được định nghĩa là:

$f (n) * g (n) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} f (k) \: g (nk)$

Tích chập rời rạc 2 chiều thường được sử dụng để xử lý ảnh.

$f (n, m) * g (n, m) = \ sum_ {j = - \ infty} ^ {\ infty} \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} f (j, k) \: g (nj, mk)$

Ta có thể lọc tín hiệu đầu vào rời rạc x (n) bằng tích chập với đáp ứng xung h (n) để được tín hiệu đầu ra y (n).

y ( n ) = x ( n ) * h ( n )

Phép biến đổi Fourier của phép nhân 2 hàm bằng tích của các phép biến đổi Fourier của mỗi hàm:

ℱ { f ⋅ g } = ℱ { f } * ℱ { g }

Phép biến đổi Fourier của một tích chập của 2 hàm bằng phép nhân các phép biến đổi Fourier của mỗi hàm:

ℱ { f * g } = ℱ { f } ⋅ ℱ { g }

ℱ { f ( t ) ⋅ g ( t )} = ℱ { f ( t )} * ℱ { g ( t )} = F ( ω ) * G ( ω )

ℱ { f ( t ) * g ( t )} = ℱ { f ( t )} ⋅ ℱ { g ( t )} = F ( ω ) ⋅ G ( ω )

ℱ { f ( n ) ⋅ g ( n )} = ℱ { f ( n )} * ℱ { g ( n )} = F ( k ) * G ( k )

ℱ { f ( n ) * g ( n )} = ℱ { f ( n )} ⋅ ℱ { g ( n )} = F ( k ) ⋅ G ( k )

ℒ { f ( t ) * g ( t )} = ℒ { f ( t )} ⋅ ℒ { g ( t )} = F ( s ) ⋅ G ( s )

Xem thêm