卷积

卷积是f(τ)与逆函数g(t-τ)的相关函数。

卷积运算符是星号*

连续卷积

f(t)和g(t)的卷积等于f(τ)乘以f(t-τ)的积分:

f(t)* g(t)= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} f(\ tau)g(t- \ tau)d \ tau

离散卷积

2个离散函数的卷积定义为:

f(n)* g(n)= \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} f(k)\:g(nk)

二维离散卷积

二维离散卷积通常用于图像处理。

f(n,m)* g(n,m)= \ sum_ {j =-\ infty} ^ {\ infty} \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} f(j,k)\: g(nj,mk)

卷积的滤波器实现

我们可以通过与脉冲响应h(n)卷积来过滤离散输入信号x(n),以获得输出信号y(n)。

yn)= xn)* hn

卷积定理

2个函数的乘积的傅立叶变换等于每个函数的傅立叶变换的卷积:

ℱ{ ˚F  ⋅} =ℱ{ ˚F } *ℱ{}

2个函数的卷积的傅立叶变换等于每个函数的傅立叶变换的乘法:

ℱ{ f  * g } =ℱ{ f }⋅ℱ{ g }

 
连续傅立叶变换的卷积定理

ℱ{ ˚F)⋅)} = {ℱ ˚F)} * {ℱ)} = ˚Fω)* g ^ω

ℱ{ ˚F)*)} = {ℱ ˚F)}⋅ℱ{)} = ˚Fω)⋅ ģω

离散傅里叶变换的卷积定理

ℱ{ ˚FÑ)⋅Ñ)} = {ℱ ˚FÑ)} * {ℱÑ)} = ˚Fķ)* g ^ķ

ℱ{ ˚FÑ)*Ñ)} = {ℱ ˚FÑ)}⋅ℱ{Ñ)} = ˚Fķ)⋅ ģķ

拉普拉斯变换的卷积定理

ℒ{ ˚F)*)} = {ℒ ˚F)}⋅ℒ{)} = ˚F小号)⋅ ģ小号

 


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