導數規則
衍生規則和法律。函數的導數表。
導數定義
當Δx無限小時，函數的導數是點x +Δx和點x處函數值f（x）與Δx之差的比率。導數是函數斜率或點x處切線的斜率。
二階導數
二階導數由下式給出：
或者簡單地導出一階導數：
N階導數
所述Ñ階導數是由導出F（X）n倍來計算。
第n個導數等於（n-1）個導數的導數：
f （n）（x）= [ f （n -1）（x）]'
例：
找出的四階導數
f（x）= 2 x 5
f （4）（x）= [2 x 5 ]''''= [10 x 4 ]'''= [40 x 3 ]''= [120 x 2 ]'= 240 x
功能圖上的導數
函數的導數是切線的斜率。
導數規則
| 導數和規則 |
（af（x）+ bg（x））'= af'（x）+ bg'（x） |
| 衍生產品規則 |
（f（x）∙ g（x））'= f'（x）g（x）+ f（x）g'（x） |
| 導數商規則 |
 |
| 導數鏈規則 |
f（g（x））'= f'（g（x））∙ g'（x） |
導數和規則
當a和b為常數時。
（af（x）+ bg（x））'= af'（x）+ bg'（x）
例：
查找以下項的導數：
3 x 2 + 4 x。
根據總和規則：
a = 3，b = 4
f（x）= x 2，g（x）= x
f'（x）= 2 x ，g'（x）= 1
（3 X 2 + 4 X）'=3⋅2 X +4⋅1= 6 X + 4
衍生產品規則
（f（x）∙ g（x））'= f'（x）g（x）+ f（x）g'（x）
導數商規則
導數鏈規則
f（g（x））'= f'（g（x））∙ g'（x）
使用拉格朗日的符號可以更好地理解此規則：
函數線性逼近
對於小Δx，當我們知道f（x 0）和f'（x 0）時，我們可以獲得f（x 0 +Δx）的近似值：
˚F（X 0 +Δ X）≈ ˚F（X 0）+ ˚F '（X 0）⋅Δ X
函數導數表
| 功能名稱 | 功能 | 衍生物 |
|---|---|---|
|
f（x） |
f '（x） | |
| 不變 |
const |
0 |
| 線性的 |
x |
1 |
| 功率 |
X一 |
斧a- 1 |
| 指數的 |
Ë X |
Ë X |
| 指數的 |
一個X |
一個X LN一 |
| 自然對數 |
ln（x） |
|
| 對數 |
對數b（x） |
|
| 正弦波 |
罪惡x |
cos x |
| 餘弦 |
cos x |
-罪x |
| 切線 |
譚X |
|
| 反正弦 |
阿克辛x |
|
| 反餘弦 |
arccos x |
|
| 反正切 |
arctan x |
 |
| 雙曲正弦 |
的sinh X |
cosh x |
| 雙曲餘弦 |
cosh x |
的sinh X |
| 雙曲正切 |
tanh x |
|
| 反雙曲正弦 |
正弦-1 x |
|
| 反雙曲餘弦 |
cosh -1 x |
|
| 反雙曲正切 |
tanh -1 x |
|
衍生範例
例子1
f（x）= x 3 +5 x 2 + x +8
F' （X）= 3 X 2 +2⋅5 X + 1 + 0 = 3 X 2 10 X 1
範例＃2
f（x）= sin（3 x 2）
應用鍊式規則時：
f'（x）= cos（3 x 2）⋅[3 x 2 ]'= cos（3 x 2）⋅6 x
二階導數測試
當函數的一階導數在點x 0處為零時。
f '（x 0）= 0
然後，在點x 0處的二階導數f''（x 0）可以指示該點的類型：
|
f ''（x 0）/ 0 |
局部最小值 |
|
f ''（x 0）<0 |
局部最大值 |
|
f ''（x 0）= 0 |
未定 |