Естествен логаритъм - ln (x)

Естествен логаритъм е логаритъмът към основата e на число.

Определение на естествен логаритъм

Кога

e y = x

Тогава база e логаритъм на x е

ln ( x ) = log e ( x ) = y

 

В константа д или номер на Ойлер е:

e ≈ 2.71828183

Ln като обратна функция на експоненциална функция

Функцията на естествения логаритъм ln (x) е обратната функция на експоненциалната функция e x .

За x/ 0,

f ( f -1 ( x )) = e ln ( x ) = x

Или

f -1 ( f ( x )) = ln ( e x ) = x

Правила и свойства на естествения логаритъм

Име на правилото Правило Пример
Правило за продукта

ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )

ln (3 ∙ 7) = ln (3) + ln (7)
Правило за коефициент

ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )

LN (3 / 7) = LN (3) - LN (7)
Правило на властта

ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )

ln (2 8 ) = 8 ∙ ln (2)
ln производно
 f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x  
В интеграл
 ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C  
ln от отрицателно число
 ln ( x ) е недефинирано, когато x ≤ 0  
в нула
 ln (0) е недефиниран  
 
ln от един
 ln (1) = 0  
ln безкрайност
 lim ln ( x ) = ∞, когато x → ∞  
Самоличността на Ойлер ln (-1) = i π  

 

Правило за логаритмен продукт

Логаритъмът на умножението на x и y е сумата от логаритъма на x и логаритъма на y.

log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )

Например:

log 10 (3 ∙ 7) = log 10 (3) + log 10 (7)

Правило за коефициент на логаритъма

Логаритъмът на разделението на x и y е разликата в логаритъма на x и логаритъма на y.

log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )

Например:

влизане 10 (3 / 7) = влизане 10 (3) - влизане 10 (7)

Правило за степента на логаритъма

Логаритъмът на х, повдигнат до степента на у, е умножен по логаритъм от х.

log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

Например:

log 10 (2 8 ) = 8 ∙ log 10 (2)

Производно на естествен логаритъм

Производната на функцията на естествения логаритъм е реципрочната функция.

Кога

f ( x ) = ln ( x )

Производната на f (x) е:

f ' ( x ) = 1 / x

Интеграл от естествен логаритъм

Интегралът от функцията на естествения логаритъм се дава от:

Кога

f ( x ) = ln ( x )

Интегралът на f (x) е:

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln от 0

Естественият логаритъм от нула е недефиниран:

ln (0) е недефиниран

Границата близо до 0 на естествения логаритъм на x, когато x се приближава до нула, е минус безкрайност:

Ln от 1

Естественият логаритъм на единица е нула:

ln (1) = 0

Ln на безкрайност

Границата на естествения логаритъм на безкрайността, когато x се доближава до безкрайността, е равна на безкрайността:

lim ln ( x ) = ∞, когато x → ∞

Сложен логаритъм

За комплексно число z:

z = re iθ = x + iy

Комплексният логаритъм ще бъде (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · арктан ( y / x ))

Графика на ln (x)

ln (x) не е дефиниран за реални неположителни стойности на x:

Таблица с естествени логаритми

x ln x
0 неопределено
0 + - ∞
0,0001 -9,210340
0,001 -6.907755
0,01 -4.605170
0,1 -2.302585
1 0
2 0.693147
e ≈ 2.7183 1
3 1.098612
4 1.386294
5 1.609438
6 1.791759
7 1.945910
8 2.079442
9 2.197225
10 2.302585
20 2.995732
30 3.401197
40 3.688879
50 3.912023
60 4.094345
70 4.248495
80 4.382027
90 4.499810
100 4.605170
200 5.298317
300 5.703782
400 5.991465
500 6.214608
600 6.396930
700 6,551080
800 6,684612
900 6.802395
1000 6,907755
10000 9.210340

 

Правила на логаритъма ►

 

Вижте също

Advertising

АЛГЕБРА
БЪРЗИ МАСИ