Convolució

La convolució és la funció de correlació de f (τ) amb la funció invertida g (t-τ).

L'operador de convolució és el símbol de l'asterisc * .

La convolució de f (t) i g (t) és igual a la integral de f (τ) vegades f (t-τ):

$f (t) * g (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (\ tau) g (t- \ tau) d \ tau$

La convolució de 2 funcions discretes es defineix com:

$f (n) * g (n) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} f (k) \: g (nk)$

La convolució discreta bidimensional s'utilitza generalment per al processament d'imatges.

$f (n, m) * g (n, m) = \ sum_ {j = - \ infty} ^ {\ infty} \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} f (j, k) \: g (nj, mk)$

Podem filtrar el senyal d’entrada discret x (n) per convolució amb la resposta d’impuls h (n) per obtenir el senyal de sortida y (n).

y ( n ) = x ( n ) * h ( n )

La transformada de Fourier d’una multiplicació de 2 funcions és igual a la convolució de les transformades de Fourier de cada funció:

ℱ { f ⋅ g } = ℱ { f } * ℱ { g }

La transformada de Fourier d'una convolució de 2 funcions és igual a la multiplicació de les transformades de Fourier de cada funció:

ℱ { f * g } = ℱ { f } ⋅ ℱ { g }

ℱ { f ( t ) ⋅ g ( t )} = ℱ { f ( t )} * ℱ { g ( t )} = F ( ω ) * G ( ω )

ℱ { f ( t ) * g ( t )} = ℱ { f ( t )} ⋅ ℱ { g ( t )} = F ( ω ) ⋅ G ( ω )

ℱ { f ( n ) ⋅ g ( n )} = ℱ { f ( n )} * ℱ { g ( n )} = F ( k ) * G ( k )

ℱ { f ( n ) * g ( n )} = ℱ { f ( n )} ⋅ ℱ { g ( n )} = F ( k ) ⋅ G ( k )

ℒ { f ( t ) * g ( t )} = ℒ { f ( t )} ⋅ ℒ { g ( t )} = F ( s ) ⋅ G ( s )

Vegeu també