Přirozený logaritmus - ln (x)

Přirozený logaritmus je logaritmus základny e čísla.

Definice přirozeného logaritmu

Když

e y = x

Pak je základní e logaritmus x

ln ( x ) = log e ( x ) = y

 

Konstanta e nebo Eulerovo číslo je:

e ≈ 2,71828183

Ln jako inverzní funkce exponenciální funkce

Přirozená logaritmická funkce ln (x) je inverzní funkcí exponenciální funkce e x .

Pro x/ 0,

f ( f -1 ( x )) = e ln ( x ) = x

Nebo

f -1 ( f ( x )) = ln ( e x ) = x

Pravidla a vlastnosti přirozeného logaritmu

Název pravidla Pravidlo Příklad
Pravidlo produktu

ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )

ln (3 ∙ 7) = ln (3) + ln (7)
Pravidlo kvocientu

ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )

ln (3 / 7) = ln (3) - ln (7)
Pravidlo moci

ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )

ln (2 8 ) = 8 ∙ ln (2)
Derivát
 f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x  
V integrálu
 ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C  
Záporné číslo
 ln ( x ) není definováno, když x ≤ 0  
nula nula
 ln (0) není definováno  
 
V jednom
 ln (1) = 0  
V nekonečnu
 lim ln ( x ) = ∞, když x → ∞  
Eulerova identita ln (-1) = i π  

 

Logaritmické pravidlo produktu

Logaritmus násobení x a y je součtem logaritmu x a logaritmu y.

log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )

Například:

log 10 (3 ∙ 7) = log 10 (3) + log 10 (7)

Pravidlo kvocientu logaritmu

Logaritmus rozdělení x a y je rozdíl logaritmu x a logaritmu y.

log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )

Například:

log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)

Logaritmické pravidlo síly

Logaritmus x zvýšený na sílu y je y krát logaritmus x.

log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

Například:

log 10 (2 8 ) = 8 ∙ log 10 (2)

Derivace přirozeného logaritmu

Derivátem přirozené logaritmické funkce je reciproční funkce.

Když

f ( x ) = ln ( x )

Derivát f (x) je:

f ' ( x ) = 1 / x

Integrál přirozeného logaritmu

Integrál přirozené logaritmické funkce je dán vztahem:

Když

f ( x ) = ln ( x )

Integrál f (x) je:

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln 0

Přirozený logaritmus nuly není definován:

ln (0) není definováno

Limita blízká 0 přirozeného logaritmu x, když se x blíží nule, je minus nekonečno:

Ln z 1

Přirozený logaritmus jedničky je nula:

ln (1) = 0

Ln nekonečna

Mez přirozeného logaritmu nekonečna, když se x blíží nekonečnu, se rovná nekonečnu:

lim ln ( x ) = ∞, když x → ∞

Složitý logaritmus

Pro komplexní číslo z:

z = re iθ = x + iy

Komplexní logaritmus bude (n = ... - 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))

Graf ln (x)

ln (x) není definováno pro skutečné ne kladné hodnoty x:

Tabulka přirozených logaritmů

x ln x
0 nedefinováno
0 + - ∞
0,0001 -9,210340
0,001 -6,907755
0,01 -4,605170
0,1 -2,302585
1 0
2 0,693147
e ≈ 2,7183 1
3 1,098612
4 1,386294
5 1,609438
6 1,791759
7 1.945910
8 2,079442
9 2,197225
10 2,302585
20 2,995732
30 3,401197
40 3,688879
50 3,912023
60 4,094345
70 4,248495
80 4.382027
90 4,499810
100 4,605170
200 5,198317
300 5,703782
400 5,991465
500 6,214608
600 6,396930
700 6,55 1080
800 6,684612
900 6,802395
1000 6,907755
10 000 9,210340

 

Pravidla logaritmu ►

 

Viz také

Advertising

ALGEBRA
RYCHLÉ STOLY