Pravidla logaritmu

Základna b logaritmus řady je exponent , že musíme zvýšit základnu s cílem získat telefonní číslo.

Definice logaritmu

Když je b zvýšeno na sílu y je rovno x:

b y = x

Pak se základní b logaritmus x rovná y:

log b ( x ) = y

Například když:

2 4 = 16

Pak

log 2 (16) = 4

Logaritmus jako inverzní funkce exponenciální funkce

Logaritmická funkce,

y = log b ( x )

je inverzní funkce exponenciální funkce,

x = b y

Pokud tedy spočítáme exponenciální funkci logaritmu x (x/ 0),

f ( f -1 ( x )) = b log b ( x ) = x

Nebo pokud vypočítáme logaritmus exponenciální funkce x,

f -1 ( f ( x )) = log b ( b x ) = x

Přirozený logaritmus (ln)

Přirozený logaritmus je logaritmus k základnímu e:

ln ( x ) = log e ( x )

Když e konstanta je číslo:

e = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ left (1+ \ frac {1} {x} \ right) ^ x = 2,718281828459 ...

nebo

e = \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ left (1+ \ right x) ^ \ frac {1} {x}

 

Viz: Přirozený logaritmus

Výpočet inverzního logaritmu

Inverzní logaritmus (nebo anti logaritmus) se vypočítá zvýšením základny b na logaritmus y:

x = log -1 ( y ) = b y

Logaritmická funkce

Logaritmická funkce má základní formu:

f ( x ) = log b ( x )

Logaritmická pravidla

Název pravidla Pravidlo
Logaritmické pravidlo produktu
 log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Pravidlo kvocientu logaritmu
 log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Logaritmické pravidlo síly
 log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Logaritmické pravidlo základního přepínání
 log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Logaritmické základní pravidlo změny
 log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Derivace logaritmu
 f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))
Integrál logaritmu
 ∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Logaritmus záporného čísla
 log b ( x ) není definováno, když x ≤ 0
Logaritmus 0
 log b (0) není definován
\ lim_ {x \ to 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty
Logaritmus 1
 log b (1) = 0
Logaritmus základny
 log b ( b ) = 1
Logaritmus nekonečna
 lim log b ( x ) = ∞, když x → ∞

Viz: Pravidla logaritmu

 

Logaritmické pravidlo produktu

Logaritmus násobení x a y je součtem logaritmu x a logaritmu y.

log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )

Například:

log 10 (3 ∙ 7) = log 10 (3) + log 10 (7)

Pravidlo kvocientu logaritmu

Logaritmus rozdělení x a y je rozdíl logaritmu x a logaritmu y.

log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )

Například:

log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)

Logaritmické pravidlo síly

Logaritmus x zvýšený na sílu y je y krát logaritmus x.

log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

Například:

log 10 (2 8 ) = 8 ∙ log 10 (2)

Logaritmické pravidlo základního přepínání

Základní b logaritmus c je 1 děleno základním c logaritmem b.

log b ( c ) = 1 / log c ( b )

Například:

log 2 (8) = 1 / log 8 (2)

Logaritmické základní pravidlo změny

Základní b logaritmus x je základní c logaritmus x dělený základním c logaritmus b.

log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )

Například pro výpočet log 2 (8) v kalkulačce musíme změnit základnu na 10:

log 2 (8) = log 10 (8) / log 10 (2)

Viz: pravidlo změny základního protokolu

Logaritmus záporného čísla

Základní b reálný logaritmus x, když x <= 0 není definováno, když x je záporné nebo rovno nule:

log b ( x ) není definováno, když x ≤ 0

Viz: protokol záporného čísla

Logaritmus 0

Nulový základní b logaritmus není definován:

log b (0) není definován

Limita základního b logaritmu x, když se x blíží nule, je minus nekonečno:

\ lim_ {x \ to 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty

Viz: log nuly

Logaritmus 1

Základní b logaritmus jedné je nula:

log b (1) = 0

Například základ dvou logaritmů jednoho je nula:

log 2 (1) = 0

Viz: protokol jednoho

Logaritmus nekonečna

Limita základního b logaritmu x, když se x blíží nekonečnu, se rovná nekonečnu:

lim log b ( x ) = ∞, když x → ∞

Viz: protokol nekonečna

Logaritmus základny

Základní b logaritmus b je jeden:

log b ( b ) = 1

Například základní dva logaritmy dvou jsou jeden:

log 2 (2) = 1

Logaritmická derivace

Když

f ( x ) = log b ( x )

Potom derivace f (x):

f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))

Viz: log derivát

Logaritmus integrální

Integrál logaritmu x:

∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C

Například:

∫ log 2 ( x ) dx = x ∙ (log 2 ( x ) - 1 / ln (2) ) + C

Logaritmická aproximace

log 2 ( x ) ≈ n + ( x / 2 n - 1),

Složitý logaritmus

Pro komplexní číslo z:

z = re iθ = x + iy

Komplexní logaritmus bude (n = ... - 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))

Logaritmické problémy a odpovědi

Problém č. 1

Najděte x pro

log 2 ( x ) + log 2 ( x -3) = 2

Řešení:

Použití pravidla produktu:

log 2 ( x ∙ ( x -3)) = 2

Změna formy logaritmu podle definice logaritmu:

x ∙ ( x -3) = 2 2

Nebo

x 2 -3 x -4 = 0

Řešení kvadratické rovnice:

x 1,2 = [3 ± √ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4, -1

Protože logaritmus není definován pro záporná čísla, odpověď zní:

x = 4

Problém č. 2

Najděte x pro

log 3 ( x +2) - log 3 ( x ) = 2

Řešení:

Použití pravidla kvocientu:

log 3 (( x +2) / x ) = 2

Změna formy logaritmu podle definice logaritmu:

( x +2) / x = 3 2

Nebo

x +2 = 9 x

Nebo

8 x = 2

Nebo

x = 0,25

Graf protokolu (x)

log (x) není definován pro skutečné ne kladné hodnoty x:

Tabulka logaritmů

x přihlásit 10 x přihlásit 2 x přihlásit e x
0 nedefinováno nedefinováno nedefinováno
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13,287712 -9,210340
0,001 -3 -9,965784 -6,907755
0,01 -2 -6,643856 -4,605170
0,1 -1 -3,321928 -2,302585
1 0 0 0
2 0,301030 1 0,693147
3 0,4777121 1,584963 1,098612
4 0,602060 2 1,386294
5 0,698970 2.321928 1,609438
6 0,778151 2,584963 1,791759
7 0,845098 2,807355 1.945910
8 0,903090 3 2,079442
9 0,954243 3,169925 2,197225
10 1 3,321928 2,302585
20 1,301030 4,321928 2,995732
30 1,477121 4,906891 3,401197
40 1,602060 5,321928 3,688879
50 1,698970 5,643856 3,912023
60 1,778151 5,906991 4,094345
70 1,845098 6.129283 4,248495
80 1,903090 6,321928 4.382027
90 1,954243 6,49 1853 4,499810
100 2 6,643856 4,605170
200 2,301030 7,643856 5,198317
300 2,477121 8.228819 5,703782
400 2,602060 8,643856 5,991465
500 2,698970 8,965784 6,214608
600 2,778151 9,28819 6,396930
700 2,845098 9,451211 6,55 1080
800 2,903090 9,643856 6,684612
900 2,954243 9,813781 6,802395
1000 3 9,965784 6,907755
10 000 4 13,287712 9,210340

 

Logaritmická kalkulačka ►

 

Viz také

Advertising

ALGEBRA
RYCHLÉ STOLY