Naturlig logaritme - ln (x)

Naturlig logaritme er logaritmen til basis e af et tal.

Definition af naturlig logaritme

Hvornår

e y = x

Derefter baseres e-logaritmen på x

ln ( x ) = log e ( x ) = y

 

Den e konstant eller Eulers tal er:

e ≈ 2.71828183

Ln som invers funktion af eksponentiel funktion

Den naturlige logaritmefunktion ln (x) er den inverse funktion af den eksponentielle funktion e x .

For x/ 0,

f ( f -1 ( x )) = e ln ( x ) = x

Eller

f -1 ( f ( x )) = ln ( e x ) = x

Naturlige logaritmeregler og egenskaber

Regelnavn Herske Eksempel
Produktregel

ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )

ln (3 ∙ 7) = ln (3) + ln (7)
Kvotientregel

ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )

ln (3 / 7) = ln (3) - ln (7)
Magtregel

ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )

ln (2 8 ) = 8 ∙ ln (2)
I afledt
 f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x  
integreret
 ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C  
I negativt tal
 ln ( x ) er udefineret, når x ≤ 0  
I nul
 ln (0) er udefineret  
 
I én
 ln (1) = 0  
af uendelig
 lim ln ( x ) = ∞, når x → ∞  
Eulers identitet ln (-1) = i π  

 

Logaritmeproduktregel

Logaritmen for multiplikationen af ​​x og y er summen af ​​logaritmen af ​​x og logaritmen af ​​y.

log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )

For eksempel:

log 10 (3 ∙ 7) = log 10 (3) + log 10 (7)

Logaritmekvotientregel

Logaritmen for divisionen af ​​x og y er forskellen mellem logaritmen af ​​x og logaritmen af ​​y.

log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )

For eksempel:

log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)

Regel om logaritmekraft

Logaritmen for x hævet til y-kraften er y gange logaritmen for x.

log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

For eksempel:

log 10 (2 8 ) = 8 ∙ log 10 (2)

Afledt af naturlig logaritme

Den afledte af den naturlige logaritmefunktion er den gensidige funktion.

Hvornår

f ( x ) = ln ( x )

Derivatet af f (x) er:

f ' ( x ) = 1 / x

Integral af naturlig logaritme

Integralet af den naturlige logaritmefunktion er givet af:

Hvornår

f ( x ) = ln ( x )

Integralet af f (x) er:

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln på 0

Den naturlige logaritme på nul er udefineret:

ln (0) er udefineret

Grænsen nær 0 af den naturlige logaritme af x, når x nærmer sig nul, er minus uendelig:

Ln af 1

Den naturlige logaritme for en er nul:

ln (1) = 0

Ln af uendelig

Grænsen for uendelig naturlig logaritme, når x nærmer sig uendelighed, er lig med uendelig:

lim ln ( x ) = ∞, når x → ∞

Kompleks logaritme

For kompleks nummer z:

z = re iθ = x + iy

Den komplekse logaritme vil være (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))

Graf af ln (x)

ln (x) er ikke defineret for reelle ikke positive værdier på x:

Naturlig logaritmisk tabel

x ln x
0 udefineret
0 + - ∞
0,0001 -9.210340
0,001 -6,907755
0,01 -4,605170
0,1 -2,302585
1 0
2 0,693147
e ≈ 2.7183 1
3 1.098612
4 1.386294
5 1.609438
6 1.791759
7 1,945910
8 2.079442
9 2.197225
10 2.302585
20 2.995732
30 3.401197
40 3.688879
50 3.912023
60 4.094345
70 4.248495
80 4.382027
90 4.499810
100 4.605170
200 5.298317
300 5.703782
400 5.991465
500 6.214608
600 6.396930
700 6.551080
800 6,684612
900 6.802395
1000 6,907755
10000 9.210340

 

Regler for logaritme ►

 

Se også

Advertising

ALGEBRA
HURTIGE TABLER