Logaritmeregler

Den basen B logaritmen af et tal er den eksponent , at vi har brug for at hæve bunden for at få nummeret.

Logaritmedefinition

Når b hæves til kraften af ​​y er lig x:

b y = x

Derefter er basis b logaritmen af ​​x lig med y:

log b ( x ) = y

For eksempel når:

2 4 = 16

Derefter

log 2 (16) = 4

Logaritme som invers funktion af eksponentiel funktion

Den logaritmiske funktion,

y = log b ( x )

er den omvendte funktion af den eksponentielle funktion,

x = b y

Så hvis vi beregner den eksponentielle funktion af logaritmen af ​​x (x/ 0),

f ( f -1 ( x )) = b log b ( x ) = x

Eller hvis vi beregner logaritmen for den eksponentielle funktion af x,

f -1 ( f ( x )) = log b ( b x ) = x

Naturlig logaritme (ln)

Naturlig logaritme er en logaritme til basen e:

ln ( x ) = log e ( x )

Når e konstant er antallet:

e = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ left (1+ \ frac {1} {x} \ right) ^ x = 2.718281828459 ...

eller

e = \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ left (1+ \ right x) ^ \ frac {1} {x}

 

Se: Naturlig logaritme

Omvendt logaritmeberegning

Den omvendte logaritme (eller anti-logaritme) beregnes ved at hæve basen b til logaritmen y:

x = log -1 ( y ) = b y

Logaritmisk funktion

Den logaritmiske funktion har den grundlæggende form for:

f ( x ) = log b ( x )

Logaritme regler

Regelnavn Herske
Logaritmeproduktregel
 log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Logaritmekvotientregel
 log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Regel om logaritmekraft
 log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Logaritme base switch regel
 log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Regel om ændring af logaritmebase
 log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Afledt af logaritme
 f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))
Integral af logaritme
 ∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Logaritme med negativt tal
 log b ( x ) er udefineret, når x ≤ 0
Logaritme på 0
 log b (0) er udefineret
\ lim_ {x \ til 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty
Logaritme på 1
 log b (1) = 0
Logaritme af basen
 log b ( b ) = 1
Uendelighedens logaritme
 lim log b ( x ) = ∞, når x → ∞

Se: Logaritmeregler

 

Logaritmeproduktregel

Logaritmen for multiplikationen af ​​x og y er summen af ​​logaritmen af ​​x og logaritmen af ​​y.

log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )

For eksempel:

log 10 (3 ∙ 7) = log 10 (3) + log 10 (7)

Logaritmekvotientregel

Logaritmen for divisionen af ​​x og y er forskellen mellem logaritmen af ​​x og logaritmen af ​​y.

log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )

For eksempel:

log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)

Regel om logaritmekraft

Logaritmen for x hævet til y-kraften er y gange logaritmen for x.

log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

For eksempel:

log 10 (2 8 ) = 8 ∙ log 10 (2)

Logaritme base switch regel

Basen b logaritme af c er 1 divideret med basen c logaritmen af ​​b.

log b ( c ) = 1 / log c ( b )

For eksempel:

log 2 (8) = 1 / log 8 (2)

Regel om ændring af logaritmebase

Basen b logaritme af x er base c logaritme af x divideret med basen c logaritmen af ​​b.

log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )

For eksempel skal vi for at beregne log 2 (8) i lommeregner ændre basen til 10:

log 2 (8) = log 10 (8) / log 10 (2)

Se: regel til ændring af logbase

Logaritme med negativt tal

Basen b ægte logaritme på x, når x <= 0 er udefineret, når x er negativ eller lig med nul:

log b ( x ) er udefineret, når x ≤ 0

Se: log med negativt tal

Logaritme på 0

Basis b-logaritmen på nul er udefineret:

log b (0) er udefineret

Grænsen for base b-logaritmen på x, når x nærmer sig nul, er minus uendelig:

\ lim_ {x \ til 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty

Se: log af nul

Logaritme på 1

Basis b logaritmen for en er nul:

log b (1) = 0

For eksempel er base to logaritme af en nul:

log 2 (1) = 0

Se: log af en

Uendelighedens logaritme

Grænsen for basen b logaritme af x, når x nærmer sig uendelig, er lig med uendelig:

lim log b ( x ) = ∞, når x → ∞

Se: uendelig log

Logaritme af basen

Basen b logaritme af b er en:

log b ( b ) = 1

For eksempel er de to basale logaritmer af to en:

log 2 (2) = 1

Logaritmederivat

Hvornår

f ( x ) = log b ( x )

Derefter afledte af f (x):

f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))

Se: logderivat

Logaritme integreret

Integralet af logaritme af x:

∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C

For eksempel:

∫ log 2 ( x ) dx = x ∙ (log 2 ( x ) - 1 / ln (2) ) + C

Logaritme tilnærmelse

log 2 ( x ) ≈ n + ( x / 2 n - 1),

Kompleks logaritme

For kompleks nummer z:

z = re iθ = x + iy

Den komplekse logaritme vil være (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))

Logaritmeproblemer og svar

Problem nr. 1

Find x til

log 2 ( x ) + log 2 ( x -3) = 2

Løsning:

Brug af produktreglen:

log 2 ( x ∙ ( x -3)) = 2

Ændring af logaritmeformularen i henhold til logaritmedefinitionen:

x ∙ ( x -3) = 2 2

Eller

x 2 -3 x -4 = 0

Løsning af den kvadratiske ligning:

x 1,2 = [3 ± √ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4, -1

Da logaritmen ikke er defineret for negative tal, er svaret:

x = 4

Problem nr.2

Find x til

log 3 ( x +2) - log 3 ( x ) = 2

Løsning:

Brug af kvotientreglen:

log 3 (( x +2) / x ) = 2

Ændring af logaritmeformularen i henhold til logaritmedefinitionen:

( x +2) / x = 3 2

Eller

x +2 = 9 x

Eller

8 x = 2

Eller

x = 0,25

Graf af log (x)

log (x) er ikke defineret for reelle ikke positive værdier på x:

Logaritmisk tabel

x log 10 x log 2 x log e x
0 udefineret udefineret udefineret
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13,287712 -9.210340
0,001 -3 -9,965784 -6,907755
0,01 -2 -6,643856 -4,605170
0,1 -1 -3.321928 -2,302585
1 0 0 0
2 0,301030 1 0,693147
3 0.477121 1.584963 1.098612
4 0,602060 2 1.386294
5 0,698970 2.321928 1.609438
6 0,778151 2,584963 1.791759
7 0,845098 2.807355 1,945910
8 0,903090 3 2.079442
9 0,954243 3.169925 2.197225
10 1 3.321928 2.302585
20 1.301030 4.321928 2.995732
30 1.477121 4.906891 3.401197
40 1,602060 5.321928 3.688879
50 1.698970 5,643856 3.912023
60 1.778151 5.906991 4.094345
70 1,845098 6.129283 4.248495
80 1,903090 6.321928 4.382027
90 1.954243 6.491853 4.499810
100 2 6,643856 4.605170
200 2.301030 7,643856 5.298317
300 2.477121 8.228819 5.703782
400 2.602060 8.643856 5.991465
500 2.698970 8.965784 6.214608
600 2.778151 9.228819 6.396930
700 2.845098 9.451211 6.551080
800 2.903090 9,643856 6,684612
900 2.954243 9.813781 6.802395
1000 3 9,965784 6,907755
10000 4 13.287712 9.210340

 

Logaritmeregner ►

 

Se også

Advertising

ALGEBRA
HURTIGE TABLER