Για να αλλάξουμε τη βάση από το b στο c, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα αλλαγής λογάριθμου βάσης. Ο λογάριθμος βάσης b του x είναι ίσος με τον λογάριθμο βάσης c του x διαιρούμενος με τον λογάριθμο βάσης c του b:
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
log 2 (100) = log 10 (100) / log 10 (2) = 2 / 0.30103 = 6.64386
log 3 (50) = log 8 (50) / log 8 (3) = 1,8812853 / 0,5283208 = 3,5608766
Η αύξηση του b με τη δύναμη του λογαρίθμου βάσης b του x δίνει x:
(1) x = b log b ( x )
Η αύξηση του c με τη δύναμη του λογαρίθμου βάσης c δίνει το b:
(2) b = c log c ( b )
Όταν παίρνουμε το (1) και αντικαθιστούμε το b με το c log c ( b ) (2), παίρνουμε:
(3) x = b log b ( x ) = ( c log c ( b ) ) log b ( x ) = c log c ( b ) × log b ( x )
Εφαρμόζοντας το log c () και στις δύο πλευρές του (3):
log c ( x ) = log c ( c log c ( b ) × log b ( x ) )
Εφαρμόζοντας τον κανόνα ισχύος λογάριθμου :
log c ( x ) = [log c ( b ) × log b ( x )] × log c ( γ )
Από log c ( c ) = 1
log c ( x ) = log c ( b ) × log b ( x )
Ή
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )