Johdannaissäännöt

Johdannaissäännöt ja lait. Johdannaiset funktiotaulukosta.

Johdannaisen määritelmä
Johdannaissäännöt
Johdannaiset funktiotaulukosta
Johdannaisesimerkkejä

Johdannaisen määritelmä

Funktion derivaatti on funktion arvon f (x) erotuksen suhde pisteissä x + Δx ja x pisteiden Δx kanssa, kun Δx on äärettömän pieni. Johdannainen on tangenttiviivan funktion kaltevuus tai kaltevuus pisteessä x.

$f '(x) = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x}$

Toinen johdannainen

Toinen johdannainen saadaan:

Tai yksinkertaisesti johtaa ensimmäinen johdannainen:

Yhdeksäs johdannainen

N : nnen johdannainen lasketaan johtamalla f (x) n kertaa.

N : nnen johdannainen on yhtä suuri kuin johdannainen (n-1) johdannainen:

f ^{( n )} ( x ) = [ f ^{( n -1)} ( x )] '

Esimerkki:

Etsi neljäs johdannainen

f ( x ) = 2 x ⁵

f ⁽⁴⁾ ( x ) = [2 x ⁵ ] '' '' = [10 x ⁴ ] '' = [40 x ³ ] '' = [120 x ² ] '= 240 x

Johdannainen funktion kaaviossa

Funktion derivaatti on tangentiaalisen viivan kaltevuus.

Johdannaissäännöt

Johdannaissumman sääntö	( af ( x ) + bg ( x )) = = af ( x ) + bg ' ( x )
Johdannaistuotesääntö	( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )
Johdannaisen osamissääntö	$\ vasen (\ frac {f (x)} {g (x)} \ oikea) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}$
Johdannainen ketjusääntö	f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Johdannaissumman sääntö

Kun a ja b ovat vakioita.

( af ( x ) + bg ( x )) = = af ( x ) + bg ' ( x )

Esimerkki:

Etsi johdannainen:

3 x ² + 4 x.

Summasäännön mukaan:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x ² , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x ² + 4 x )'= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

Johdannaistuotesääntö

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Johdannaisen osamissääntö

$\ vasen (\ frac {f (x)} {g (x)} \ oikea) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}$

Johdannainen ketjusääntö

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Tämä sääntö voidaan ymmärtää paremmin Lagrangen merkinnällä:

$\ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ cdot \ frac {dg} {dx}$

Funktion lineaarinen likiarvo

Pienelle Δx: lle saadaan likiarvo arvoon f (x ₀ + Δx), kun tiedämme f (x ₀ ) ja f '(x ₀ ):

f ( x ₀ + Δ x ) ≈ f ( x ₀ ) + f ( x ₀ ) ⋅Δ x

Johdannaiset funktiotaulukosta

Toiminnon nimi	Toiminto	Johdannainen
Toiminnon nimi	f ( x )	f '( x )
Jatkuva	vakio	0
Lineaarinen	x	1
Teho	x ^a	kirves ^a-¹
Eksponentiaalinen	e ^x	e ^x
Eksponentiaalinen	a ^x	a ^x ln a
Luonnollinen logaritmi	ln ( x )
Logaritmi	log _b ( x )
Sini	synti x	cos x
Kosini	cos x	-sin x
Tangentti	rusketus x
Arcsine	arcsin x
Arkosiini	arccos x
Arkangentti	arctan x
Hyperbolinen sini	sinh x	cosh x
Hyperbolinen kosini	cosh x	sinh x
Hyperbolinen tangentti	tanh x
Käänteinen hyperbolinen sini	sinh ^-1 x
Käänteinen hyperbolinen kosini	cosh ^-1 x
Käänteinen hyperbolinen tangentti	tanh ^-1 x