Laplace-muunnos

Laplace-muunnos muuntaa aikatoiminnon funktion s-domain-funktioksi integroimalla nollasta äärettömään

aikatoiminnon  funktio kerrottuna e -st: llä .

Laplace-muunnosta käytetään ratkaisujen löytämiseen differentiaaliyhtälöille ja integraaleille.

Aikatoimialueen johtaminen muunnetaan kertomalla s: llä s-verkkotunnuksessa.

Aikatoimialueen integraatio muutetaan s-toimialueen s-jakoon.

Laplace-muunnostoiminto

Laplace-muunnos määritetään operaattorilla L {}:

F (s) = \ mathcal {L} \ vasen \ {f (t) \ oikea \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt

Käänteinen Laplace-muunnos

Käänteinen Laplace-muunnos voidaan laskea suoraan.

Yleensä käänteinen muunnos annetaan muunnostaulukosta.

Laplace-muunnostaulukko

Toiminnon nimi Aikatoiminnon toiminto Laplace-muunnos

f ( t )

F ( s ) = L { f ( t )}
Jatkuva 1 \ frac {1} {s}
Lineaarinen t \ frac {1} {s ^ 2}
Teho

t n

\ frac {n!} {s ^ {n + 1}}
Teho

t a

Γ ( +1) ⋅ s - ( +1)
Eksponentti

e klo

\ frac {1} {sa}
Sini

sin klo

\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}
Kosini

cos klo

\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}
Hyperbolinen sini

sinh at

\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}
Hyperbolinen kosini

cosh at

\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}
Kasvava sini

T sin klo

\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}
Kasvava kosini

t cos at

\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}
Rappeutuva sini

e -at syn ωt

\ frac {\ omega} {\ vasen (s + a \ oikea) ^ 2 + \ omega ^ 2}
Rappeutuva kosini

e -at cos ωt

\ frac {s + a} {\ vasen (s + a \ oikea) ^ 2 + \ omega ^ 2}
Delta-toiminto

δ ( t )

1

Viivästynyt delta

δ ( ta )

e -as

Laplace-muunnosominaisuudet

Kiinteistön nimi Aikatoiminnon toiminto Laplace-muunnos Kommentti
 

f ( t )

F ( s )

  
Lineaarisuus af ( t ) + bg ( t ) aF ( s ) + bG ( s ) a , b ovat vakioita
Skaalamuutos f ( at ) \ frac {1} {a} F \ vasen (\ frac {s} {a} \ oikea) a / 0
Siirtää e -at f ( t ) F ( s + a )  
Viive f ( ta ) e - kuten F ( s )  
Johtaminen \ frac {df (t)} {dt} sF ( s ) - f (0)  
N: s johto \ frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n} s n f ( s ) - s n -1 f (0) - s n -2 f '(0) -...- f ( n -1) (0)  
Teho t n f ( t ) (-1) ^ n \ frac {d ^ nF (s)} {ds ^ n}  
Liittäminen \ int_ {0} ^ {t} f (x) dx \ frac {1} {s} F (t)  
Vastavuoroinen \ frac {1} {t} f (t) \ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx  
Konvoluutio f ( t ) * g ( t ) F ( s ) ⋅ G ( s ) * on konvoluutiooperaattori
Jaksollinen toiminta f ( t ) = f ( t + T ) \ frac {1} {1-e ^ {- sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- sx} f (x) dx  

Laplace-muunnosesimerkkejä

Esimerkki 1

Etsi f (t): n muunnos:

f ( t ) = 3 t + 2 t 2

Ratkaisu:

ℒ { t } = 1 / s 2

ℒ { t 2 } = 2 / s 3

F ( s ) = ℒ { f ( t )} = ℒ {3 t + 2 t 2 } = 3ℒ { t } + 2ℒ { t 2 } = 3 / s 2 + 4 / s 3

 

Esimerkki 2

Etsi F: n (s) käänteismuunnos:

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6)

Ratkaisu:

Käänteisen muunnoksen löytämiseksi meidän on muutettava s-alueen toiminto yksinkertaisempaan muotoon:

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6) = 3 / [( s -2) ( s +3)] = a / ( s -2) + b / ( s +3)

[ a ( s +3) + b ( s -2)] / [( s -2) ( s +3)] = 3 / [( s -2) ( s +3)]

a ( s +3) + b ( s -2) = 3

Saadaksesi a ja b saadaan 2 yhtälöä - yksi s-kertoimista ja toinen lopuista:

( a + b ) s + 3 a -2 b = 3

a + b = 0, 3 a -2 b = 3

a = 3/5, b = -3/5

F ( s ) = 3/5 ( s -2) - 3/5 ( s +3)

Nyt F (s) voidaan muuntaa helposti käyttämällä eksponenttifunktion muunnostaulukkoa:

f ( t ) = (3/5) e 2 t - (3/5) e -3 t

 

Katso myös

Advertising

LASKU
NOPEAT PÖYTÄT