વ્યુત્પન્ન નિયમો

વ્યુત્પન્ન નિયમો અને કાયદા. કાર્યો કોષ્ટકના વ્યુત્પત્તિઓ.

• વ્યુત્પન્ન વ્યાખ્યા
• વ્યુત્પન્ન નિયમો
• કાર્યો કોષ્ટકના વ્યુત્પત્તિઓ
• વ્યુત્પન્ન ઉદાહરણો

વ્યુત્પન્ન વ્યાખ્યા

ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન એ બિંદુઓ x + Δx અને x સાથે valuex, જ્યારે Δx અનંતરૂપે નાના હોય ત્યારે ફંક્શન મૂલ્ય એફ (એક્સ) ના તફાવતનું ગુણોત્તર છે. ડેરિવેટિવ એ બિંદુ x પર સ્પર્શ વાક્યનું કાર્ય opeાળ અથવા opeાળ છે.

 

બીજું વ્યુત્પન્ન

બીજું ડેરિવેટિવ આ દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે:

અથવા ફક્ત પ્રથમ વ્યુત્પન્ન પ્રાપ્ત કરો:

નવમી વ્યુત્પન્ન

એ મી વ્યુત્પન્ન f (x) એ વખત બન્યું દ્વારા ગણવામાં આવે છે.

એ મી વ્યુત્પન્ન છે (N-1) વ્યુત્પન્ન વ્યુત્પન્ન માટે સમાન:

f ^{( n )} ( x ) = [ f ^{( n -1)} ( x )] '

ઉદાહરણ:

નું ચોથું વ્યુત્પન્ન શોધો

f ( x ) = 2 x ⁵

f ⁽⁴⁾ ( x ) = [2 x ⁵ ] '' '' = [10 x ⁴ ] '' '= [40 x ³ ]' '= [120 x ² ]' = 240 x

ફંક્શનના ગ્રાફ પર વ્યુત્પન્ન

ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન કરનાર એ સ્પર્શીય રેખાની .ાળ છે.

વ્યુત્પન્ન નિયમો

વ્યુત્પન્ન રકમનો નિયમ	( એએફ ( એક્સ ) + BG ( એક્સ )) '= એએફ' ( એક્સ ) + BG ' ( એક્સ )
વ્યુત્પન્ન ઉત્પાદનનો નિયમ	( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )
વ્યુત્પન્ન ગુણાંક નિયમ
વ્યુત્પન્ન સાંકળ નિયમ	f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

વ્યુત્પન્ન રકમનો નિયમ

જ્યારે એ અને બી સ્થિર હોય છે.

( એએફ ( એક્સ ) + BG ( એક્સ )) '= એએફ' ( એક્સ ) + BG ' ( એક્સ )

ઉદાહરણ:

નું વ્યુત્પન્ન શોધો:

3 x ² + 4 x.

સરવાળો નિયમ મુજબ:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x ² , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x ² + 4 x ) '= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

વ્યુત્પન્ન ઉત્પાદનનો નિયમ

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

વ્યુત્પન્ન ગુણાંક નિયમ

વ્યુત્પન્ન સાંકળ નિયમ

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

આ નિયમ લેગ્રેંજની નોંધ સાથે વધુ સારી રીતે સમજી શકાય છે:

કાર્ય રેખીય આશરે

નાના Δx માટે, આપણે f (x ₀ + Δx) ની નજીકનો વિચાર કરી શકીએ છીએ, જ્યારે આપણે f (x ₀ ) અને f '(x ₀ ) ને જાણીએ છીએ :

f ( x ₀ + Δ x ) ≈ f ( x ₀ ) + f '( x ₀ ) ⋅Δ x

કાર્યો કોષ્ટકના વ્યુત્પત્તિઓ

કાર્ય નામ	કાર્ય	વ્યુત્પન્ન
	f ( x )	f '( x )
સતત	કોન્સ્ટ	0
રેખીય	x	1
પાવર	x એ	કુહાડી એ- 1
ઘાતાંકીય	e x	e x
ઘાતાંકીય	એક એક્સ	a x ln a
કુદરતી લોગરીધમ	એલએન ( એક્સ )
લોગરીધમ	લોગ બી ( એક્સ )
સાઇન	sin x	કોસ એક્સ
કોઝિન	કોસ એક્સ	-સિન એક્સ
ટેન્જેન્ટ	ટેન એક્સ
આર્ક્સિન	આર્ક્સિન એક્સ
આર્કોઝિન	આર્કોકોસ એક્સ
આર્કટેન્જેન્ટ	આર્કટન x
હાયપરબોલિક સાઇન	સિન્હ એક્સ	કોશ એક્સ
હાયપરબોલિક કોસાઇન	કોશ એક્સ	સિન્હ એક્સ
હાયપરબોલિક સ્પર્શ	તન્હ એક્સ
Inંધી હાયપરબોલિક સાઇન	sinh -1 x
વ્યસ્ત હાયપરબોલિક કોસાઇન	કોશ -1 x
Verseંધી હાયપરબોલિક સ્પર્શ	તન્હ -1 x

વ્યુત્પન્ન ઉદાહરણો

ઉદાહરણ # 1

f ( x ) = x ³ +5 x ² + x +8

f ' ( x ) = 3 x ² + 2⋅5 x + 1 + 0 = 3 x ² +10 x +1

ઉદાહરણ # 2

f ( x ) = sin (3 x ² )

સાંકળ નિયમ લાગુ કરતી વખતે:

f ' ( x ) = કોસ (3 x ² ) ⋅ [3 x ² ]' = કોસ (3 x ² ) ⋅ 6 x

બીજી વ્યુત્પન્ન કસોટી

જ્યારે ફંકશનનું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન બિંદુ x ₀ પર શૂન્ય છે .

f '( x ₀ ) = 0

પછી બિંદુ x ₀ , f '' (x ₀ ) પરનું બીજું વ્યુત્પન્ન , તે બિંદુનો પ્રકાર સૂચવી શકે છે:

 

f '' ( x 0 )/ 0	સ્થાનિક લઘુત્તમ
f '' ( x 0 ) <0	સ્થાનિક મહત્તમ
f '' ( x 0 ) = 0	અનિશ્ચિત

 

---

આ પણ જુઓ

• કેલ્ક્યુલસ
• લેપલેસ ટ્રાન્સફોર્મ ( ℒ  )
• કેલ્ક્યુલસ પ્રતીકો