כללי נגזרת

כללים וחוקים נגזרים. נגזרת של טבלת הפונקציות.

• הגדרה נגזרת
• כללי נגזרת
• נגזרת של טבלת הפונקציות
• דוגמאות נגזרות

הגדרה נגזרת

הנגזרת של פונקציה היא היחס בין ההבדל בין ערך הפונקציה f (x) בנקודות x + Δx ו- x עם Δx, כאשר Δx קטן לאין ערוך. הנגזרת היא שיפוע או שיפוע הפונקציה של קו המשיק בנקודה x.

 

נגזרת שנייה

הנגזרת השנייה ניתנת על ידי:

או פשוט לגזור את הנגזרת הראשונה:

נגזרת N

N th נגזר מחושב על ידי גזירת f (x) n פעמים.

N th נגזרת שווה לנגזרת של (n-1) נגזרת:

f ^{( n )} ( x ) = [ f ^{( n -1)} ( x )] '

דוגמא:

מצא את הנגזרת הרביעית של

f ( x ) = 2 x ⁵

f ⁽⁴⁾ ( x ) = [2 x ⁵ ] '' '' = [10 x ⁴ ] '' '= [40 x ³ ]' '= [120 x ² ]' = 240 x

נגזרת בגרף הפונקציה

הנגזרת של פונקציה היא שיפוע הקו המשיק.

כללי נגזרת

כלל סכום נגזר	( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )
כלל מוצר נגזר	( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )
כלל המנה הנגזרת
כלל שרשרת נגזרת	f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

כלל סכום נגזר

כאשר a ו- b הם קבועים.

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

דוגמא:

מצא את הנגזרת של:

3 x ² + 4 x.

על פי כלל הסכום:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x ² , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x ² + 4 x ) '= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

כלל מוצר נגזר

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

כלל המנה הנגזרת

כלל שרשרת נגזרת

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

ניתן להבין טוב יותר את הכלל הזה באמצעות הסימון של לגראנז ':

קירוב לינארי של פונקציה

עבור Δx קטן, אנו יכולים לקבל קירוב ל- f (x ₀ + Δx), כאשר אנו יודעים f (x ₀ ) ו- f '(x ₀ ):

f ( x ₀ + Δ x ) ≈ f ( x ₀ ) + f '( x ₀ ) ⋅Δ x

נגזרת של טבלת הפונקציות

שם פונקציה	פוּנקצִיָה	נגזר
	f ( x )	f '( x )
קָבוּעַ	קונסט	0
לינארי	x	1
כּוֹחַ	x א	גרזן a- 1
אקספוננציאלי	e x	e x
אקספוננציאלי	א x	a x ln a
לוגריתם טבעי	ln ( x )
לוֹגָרִיתְם	יומן ב ( x )
סינוס	חטא x	cos x
קוסינוס	cos x	-סין x
מַשִׁיק	שזוף x
ארקסין	קשת x
ארקוזין	ארקוס x
ארקטנג'נט	ארקטאן x
סינוס היפרבולי	sinh x	cosh x
קוסינוס היפרבולי	cosh x	sinh x
משיק היפרבולי	tanh x
סינוס היפרבולי הפוך	sinh -1 x
קוסינוס היפרבולי הפוך	cosh -1 x
משיק היפרבולי הפוך	tanh -1 x

דוגמאות נגזרות

דוגמה מס '1

f ( x ) = x ³ +5 x ² + x +8

f ' ( x ) = 3 x ² + 2⋅5 x + 1 + 0 = 3 x ² +10 x +1

דוגמה מס '2

f ( x ) = חטא (3 x ² )

בעת החלת כלל השרשרת:

f ' ( x ) = cos (3 x ² ) ⋅ [3 x ² ]' = cos (3 x ² ) ⋅ 6 x

מבחן נגזרת שני

כאשר הנגזרת הראשונה של פונקציה היא אפס בנקודה x ₀ .

f '( x ₀ ) = 0

ואז הנגזרת השנייה בנקודה x ₀ , f '' (x ₀ ), יכולה לציין את סוג הנקודה:

 

f '' ( x 0 )/ 0	מינימום מקומי
f '( x 0 ) <0	מקסימום מקומי
f '( x 0 ) = 0	לא נקבע

 

---

ראה גם

• חֶשְׁבּוֹן
• טרנספורמציה Laplace ( ℒ  )
• סמלי חשבון