Производные правила

Производные правила и законы. Таблица производных функций.

• Производное определение
• Производные правила
• Таблица производных функций
• Производные примеры

Производное определение

Производная функции - это отношение разности значений функции f (x) в точках x + Δx и x к Δx, когда Δx бесконечно мало. Производная - это наклон функции или наклон касательной в точке x.

 

Вторая производная

Вторая производная определяется по формуле:

Или просто выведите первую производную:

N-я производная

Производная n вычисляется путем вычисления f (x) n раз.

В п - е производная равна производной от (п-1) производное:

f ^{( n )} ( x ) = [ f ^{( n -1)} ( x )] '

Пример:

Найдите четвертую производную от

е ( х ) = 2 х ⁵

f ⁽⁴⁾ ( x ) = [2 x ⁵ ] '' '' = [10 x ⁴ ] '' '= [40 x ³ ]' '= [120 x ² ]' = 240 x

Производная на графике функции

Производная функции - это наклон касательной прямой.

Производные правила

Правило производной суммы	( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )
Правило производного продукта	( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )
Правило производного частного
Правило производной цепочки	f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Правило производной суммы

Когда a и b постоянные.

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Пример:

Найдите производную от:

3 х ² + 4 х.

Согласно правилу сумм:

а = 3, б = 4

е ( х ) = х ² , g ( х ) = х

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 х ² + 4 х ) '= 3⋅2 х + 4⋅1 = 6 х + 4

Правило производного продукта

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Правило производного частного

Правило производной цепочки

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Это правило можно лучше понять с помощью обозначений Лагранжа:

Функция линейной аппроксимации

Для малых Δx мы можем получить приближение к f (x ₀ + Δx), когда мы знаем f (x ₀ ) и f '(x ₀ ):

f ( x ₀ + Δ x ) ≈ f ( x ₀ ) + f '( x ₀ ) ⋅Δ x

Таблица производных функций

Название функции	Функция	Производная
	f ( x )	f '( x )
Постоянный	const	0
Линейный	х	1
Сила	х а	топор а- 1
Экспоненциальный	e x	e x
Экспоненциальный	а х	a x ln a
Натуральный логарифм	ln ( x )
Логарифм	журнал b ( x )
Синус	грех х	cos x
Косинус	cos x	-sin x
Касательная	загар х
Арксинус	arcsin x
Арккосин	arccos x
Арктангенс	arctan x
Гиперболический синус	зп х	cosh x
Гиперболический косинус	cosh x	зп х
Гиперболический тангенс	tanh x
Обратный гиперболический синус	sh -1 x
Обратный гиперболический косинус	cosh -1 x
Обратный гиперболический тангенс	танх -1 х

Производные примеры

Пример # 1

е ( х ) = х ³ +5 х ² + х +8

f ' ( x ) = 3 x ² + 2⋅5 x + 1 + 0 = 3 x ² +10 x +1

Пример # 2

е ( х ) = грех (3 х ² )

При применении цепного правила:

f ' ( x ) = cos (3 x ² ) ⋅ [3 x ² ]' = cos (3 x ² ) ⋅ 6 x

Тест второй производной

Когда первая производная функции равна нулю в точке x ₀ .

f '( x ₀ ) = 0

Тогда вторая производная в точке x ₀ , f '' (x ₀ ), может указывать на тип этой точки:

 

f '' ( x 0 )/ 0	местный минимум
f '' ( х 0 ) <0	локальный максимум
f '' ( х 0 ) = 0	неопределенный

 

---

Смотрите также

• Исчисление
• Преобразование Лапласа ( ℒ  )
• Символы исчисления