Laplace Transform

Laplace transform แปลงฟังก์ชันโดเมนเวลาเป็นฟังก์ชัน s-domain โดยการรวมจากศูนย์ถึงอินฟินิตี้

การทำงานของโดเมนเวลาคูณด้วยอี -st

การแปลงลาปลาซใช้เพื่อค้นหาคำตอบสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์อย่างรวดเร็ว

การหาที่มาในโดเมนเวลาจะถูกเปลี่ยนเป็นการคูณด้วย s ในโดเมน s

การรวมในโดเมนเวลาถูกเปลี่ยนเป็นการหารด้วย s ใน s-domain

ฟังก์ชั่นการแปลง Laplace

การแปลง Laplace ถูกกำหนดด้วยตัวดำเนินการL {}:

$F (s) = \ mathcal {L} \ left \ {f (t) \ right \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt$

สามารถคำนวณการแปลง Laplace ผกผันได้โดยตรง

โดยปกติการแปลงผกผันจะได้รับจากตารางการแปลง

ชื่อฟังก์ชัน	ฟังก์ชันโดเมนเวลา	ลาปลาซแปลงร่าง
ชื่อฟังก์ชัน	ฉ ( t )	F ( s ) = L { f ( t )}
คงที่	1	$\ frac {1} {s}$
เชิงเส้น	t	$\ frac {1} {s ^ 2}$
อำนาจ	เสื้อⁿ	$\ frac {n!} {s ^ {n + 1}}$
อำนาจ	เสื้อ^ก	Γ ( a +1) ⋅ s ^{- ( a +1)}
เลขชี้กำลัง	e ^ที่	$\ frac {1} {sa}$
ไซน์	บาปที่	$\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}$
โคไซน์	cos ที่	$\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}$
ไฮเพอร์โบลิกไซน์	บาปที่	$\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}$
ไฮเพอร์โบลิกโคไซน์	cosh ที่	$\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}$
ไซน์ที่กำลังเติบโต	tบาปที่	$\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}$
การปลูกโคไซน์	t cos ที่	$\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}$
ไซน์ที่สลายตัว	e- ^at sin ωt	$\ frac {\ omega} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}$
โคไซน์ที่สลายตัว	e- ^at cos ωt	$\ frac {s + a} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}$
ฟังก์ชันเดลต้า	δ ( เสื้อ )	1
เดลต้าล่าช้า	δ ( TA )	e ^-as

ชื่อคุณสมบัติ	ฟังก์ชันโดเมนเวลา	ลาปลาซแปลงร่าง	แสดงความคิดเห็น
	ฉ ( t )	F ( s )
ความเป็นเส้นตรง	af ( เสื้อ ) + bg ( t )	AF ( s ) + BG ( s )	a , bเป็นค่าคงที่
การเปลี่ยนแปลงขนาด	f ( ที่ )	$\ frac {1} {a} F \ left (\ frac {s} {a} \ right)$	a / 0
กะ	e ^{- ที่} f ( t )	F ( s + a )
ล่าช้า	f ( ตา )	e ^{- เป็น} F ( s )
ที่มา	$\ frac {df (t)} {dt}$	sF ( s ) - ฉ (0)
อนุพันธ์ N-th	$\ frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0) -...- f ^{( n -1)} (0)
อำนาจ	เสื้อⁿ f ( เสื้อ )	$(-1) ^ n \ frac {d ^ nF (s)} {ds ^ n}$
บูรณาการ	$\ int_ {0} ^ {t} f (x) dx$	$\ frac {1} {s} F (s)$
ซึ่งกันและกัน	$\ frac {1} {t} f (t)$	$\ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx$
การแปลง	f ( เสื้อ ) * g ( t )	F ( s ) ⋅ G ( s )	* เป็นตัวดำเนินการ Convolution
ฟังก์ชันเป็นระยะ	f ( เสื้อ ) = f ( t + T )	$\ frac {1} {1-e ^ {- sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- sx} f (x) dx$