對數規則
數字的底數b對數是我們為了獲得數字而需要提高底數的指數。
對數定義
當b提高到y的冪等於x時：
b y = x
然後，x的基數b對數等於y：
log b（x）= y
例如，當：
2 4 = 16
然後
對數2（16）= 4
對數為指數函數的反函數
對數函數
y = log b（x）
是指數函數的反函數，
x = b y
因此，如果我們計算x（x/ 0）的對數的指數函數，
f（f -1（x））= b log b （x） = x
或者，如果我們計算x的指數函數的對數，
f -1（f（x））= log b（b x）= x
自然對數（ln）
自然對數是以e為底的對數：
ln（x）= log e（x）
當e常數是數字時：
或
請參閱：自然對數
反對數計算
通過將底數b提高到對數y來計算反對數（或反對數）：
x = log -1（y）= b y
對數函數
對數函數的基本形式為：
f（x）=對數b（x）
對數規則
| 規則名稱 | 規則 |
|---|---|
對數乘積規則 |
log b（x∙y）= log b（x）+ log b（y） |
對數商法則 |
日誌b（X / Y）=日誌b（X）-日誌b（Ý） |
對數冪規則 |
log b（x y）= y∙ log b（x） |
對數基數切換規則 |
log b（c）= 1 / log c（b） |
對數基數更改規則 |
log b（x）= log c（x）/ log c（b） |
對數導數 |
f（x）=對數b（x） ⇒f '（x）= 1 /（x ln（b）） |
對數積分 |
∫ 日誌b（X）DX = X∙（日誌b（X） - 1 / LN（b） ）+ C ^ |
負數的對數 |
日誌b（X）是未定義當 X ≤0 |
對數0 |
日誌b（0）未定義 |
 |
|
1的對數 |
log b（1）= 0 |
底數的對數 |
log b（b）= 1 |
無窮大的對數 |
LIM日誌b（X）= ∞，當X →∞ |
另請：對數規則
對數乘積規則
x和y的對數是x和y的對數之和。
log b（x∙y）= log b（x）+ log b（y）
例如：
日誌10（3 ∙ 7）=日誌10（3）+日誌10（7）
對數商法則
x和y的對數是x和y的對數之差。
日誌b（X / Y）=日誌b（X）-日誌b（Ý）
例如：
日誌10（3 / 7）=日誌10（3）-日誌10（7）
對數冪規則
x的對數提高到y的冪是y乘以x的對數。
log b（x y）= y∙ log b（x）
例如：
日誌10（2 8）= 8 ∙日誌10（2）
對數基數切換規則
c的底b對數為1除以b的底c對數。
log b（c）= 1 / log c（b）
例如：
對數2（8）= 1 /對數8（2）
對數基數更改規則
x的底b對數是x的底c對數除以b的底c對數。
log b（x）= log c（x）/ log c（b）
例如，為了在計算器中計算對數2（8），我們需要將底數更改為10：
日誌2（8）=日誌10（8）/日誌10（2）
請參閱：日誌基準更改規則
負數的對數
當x <= 0時，當x為負或等於零時，x的基數b實對數不確定：
日誌b（X）是未定義當 X ≤0
請參閱：負數日誌
對數0
未定義以b為底的對數：
日誌b（0）未定義
x接近零時，x的基b對數的極限為負無窮大：
請參閱：零對數
1的對數
1的底b對數為零：
log b（1）= 0
例如，以1為底的兩個對數為零：
對數2（1）= 0
另請：日誌一
無窮大的對數
x接近無窮大時，x的基b對數的極限等於無窮大：
當x →∞時lim log b（x）= ∞
請參閱：無限對數
底數的對數
b的底b對數為1：
log b（b）= 1
例如，以2為底的對數為1：
對數2（2）= 1
對數導數
什麼時候
f（x）=對數b（x）
然後f（x）的導數：
f'（x）= 1 /（x ln（b））
另請：對數導數
對數積分
x的對數的積分：
∫ 日誌b（X）DX = X∙（日誌b（X） - 1 / LN（b） ）+ C ^
例如：
∫ 日誌2（X）DX = X∙（日誌2（X） - 1 / LN（2） ）+ C ^
對數近似
日誌2（X）≈ Ñ +（X / 2 Ñ - 1），
複數對數
對於復數z：
z = reiθ = x + iy
複數對數為（n = ...- 2，-1,0,1,2，...）：
對數z = ln（r）+ i（θ+2nπ）= ln（√（x 2 + y 2））+ i ·arctan（y / x））
對數問題與解答
問題1
查找x
log 2（x）+ log 2（x -3）= 2
解：
使用產品規則：
對數2（x∙（x -3））= 2
根據對數定義更改對數形式：
x∙（x -3）= 2 2
或
x 2 -3 x -4 = 0
求解二次方程：
x 1,2 = [3±√（9 + 16）] / 2 = [3±5] / 2 = 4，-1
由於未為負數定義對數，因此答案為：
x = 4
問題二
查找x
log 3（x +2）-log 3（x）= 2
解：
使用商規則：
對數3（（x +2）/ x）= 2
根據對數定義更改對數形式：
（x +2）/ x = 3 2
或
x +2 = 9 x
或
8 x = 2
或
x = 0.25
對數圖（x）
沒有為x的實數非正值定義log（x）：
對數表
| x | 記錄10 x | 日誌2 x | 登錄Ë X |
|---|---|---|---|
| 0 | 未定義 | 未定義 | 未定義 |
| 0 + | -∞ | -∞ | -∞ |
| 0.0001 | -4 | -13.287712 | -9.210340 |
| 0.001 | -3 | -9.965784 | -6.907755 |
| 0.01 | -2 | -6.643856 | -4.605170 |
| 0.1 | -1 | -3.321928 | -2.302585 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 0.301030 | 1 | 0.693147 |
| 3 | 0.477121 | 1.584963 | 1.098612 |
| 4 | 0.602060 | 2 | 1.386294 |
| 5 | 0.698970 | 2.321928 | 1.609438 |
| 6 | 0.778151 | 2.584963 | 1.791759 |
| 7 | 0.845098 | 2.807355 | 1.945910 |
| 8 | 0.903090 | 3 | 2.079442 |
| 9 | 0.954243 | 3.169925 | 2.197225 |
| 10 | 1 | 3.321928 | 2.302585 |
| 20 | 1.301030 | 4.321928 | 2.995732 |
| 30 | 1.477121 | 4.906891 | 3.401197 |
| 40 | 1.602060 | 5.321928 | 3.688879 |
| 50 | 1.698970 | 5.643856 | 3.912023 |
| 60 | 1.778151 | 5.906991 | 4.094345 |
| 70 | 1.845098 | 6.129283 | 4.248495 |
| 80 | 1.903090 | 6.321928 | 4.382027 |
| 90 | 1.954243 | 6.491853 | 4.499810 |
| 100 | 2 | 6.643856 | 4.605170 |
| 200 | 2.301030 | 7.643856 | 5.298317 |
| 300 | 2.477121 | 8.228819 | 5.703782 |
| 400 | 2.602060 | 8.643856 | 5.991465 |
| 500 | 2.698970 | 8.965784 | 6.214608 |
| 600 | 2.778151 | 9.228819 | 6.396930 |
| 700 | 2.845098 | 9.451211 | 6.551080 |
| 800 | 2.903090 | 9.643856 | 6.684612 |
| 900 | 2.954243 | 9.813781 | 6.802395 |
| 1000 | 3 | 9.965784 | 6.907755 |
| 10000 | 4 | 13.287712 | 9.210340 |