القواعد المشتقة

القواعد والقوانين المشتقة. جدول مشتقات الدوال.

تعريف مشتق
القواعد المشتقة
جدول مشتقات الدوال
أمثلة مشتقة

تعريف مشتق

مشتق الدالة هو نسبة الفرق في قيمة الدالة f (x) عند النقطتين x + Δx و x مع Δx ، عندما تكون Δx صغيرة جدًا. المشتق هو ميل الدالة أو ميل خط المماس عند النقطة x.

$f '(x) = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x}$

المشتق الثاني

يتم إعطاء المشتق الثاني بواسطة:

أو ببساطة اشتق المشتق الأول:

مشتق ن

و ن يتم احتساب عشر مشتق عن طريق اشتقاق و (خ) ن مرات.

و ن ال غير المشتقة تساوي إلى مشتق من (ن 1) مشتق:

و ^{( ن )} ( س ) = [ و ^{( ن -1)} ( س )] '

مثال:

أوجد المشتق الرابع ل

و ( س ) = 2 × ⁵

f ⁽⁴⁾ ( x ) = [2 x ⁵ ] '' '= [10 x ⁴ ]' '' = [40 x ³ ] '' = [120 x ² ] '= 240 x

المشتق على الرسم البياني للدالة

مشتق الدالة هو ميل الخط المماسي.

القواعد المشتقة

قاعدة المجموع المشتق	( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )
قاعدة المنتج المشتق	( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )
قاعدة حاصل القسمة المشتقة	$\ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}$
قاعدة السلسلة المشتقة	f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

قاعدة المجموع المشتق

عندما يكون a و b ثوابت.

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

مثال:

أوجد مشتق من:

3 × ² + 4 ×.

حسب قاعدة المجموع:

أ = 3 ، ب = 4

و ( س ) = س ² ، ز ( س ) = س

و ' ( س ) = 2 س ، ز' ( س ) = 1

(3 × ² + 4 س ) '= 3⋅2 س + 4⋅1 = 6 س + 4

قاعدة المنتج المشتق

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

قاعدة حاصل القسمة المشتقة

$\ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}$

قاعدة السلسلة المشتقة

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

يمكن فهم هذه القاعدة بشكل أفضل باستخدام تدوين لاغرانج:

$\ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ cdot \ frac {dg} {dx}$

التقريب الخطي للوظيفة

بالنسبة إلى Δx الصغير ، يمكننا الحصول على تقريب لـ f (x ₀ + Δx) ، عندما نعرف f (x ₀ ) و f '(x ₀ ):

و ( س ₀ + Δ س ) ≈ و ( س ₀ ) + و '( س ₀ ) ⋅Δ س

جدول مشتقات الدوال

اسم وظيفة	وظيفة	المشتق
اسم وظيفة	و ( خ )	و ( س )
ثابت	مقدار ثابت	0
خطي	x	1
قوة	x ^أ	الفأس ^أ-¹
متسارع	ه ^س	ه ^س
متسارع	أ ^س	و ^س قانون الجنسية ل
اللوغاريتم الطبيعي	ln ( x )
لوغاريتم	سجل _ب ( خ )
شرط	الخطيئة x	كوس x
جيب التمام	كوس x	-sin x
الظل	تان س
أركسين	أركسين x
أركوزين	arccos x
قوس ظل	أركتان العاشر
الجيب الزائدي	سينه س	كوش العاشر
جيب التمام الزائدي	كوش العاشر	سينه س
ظل زائدي	تانه س
الجيب الزائدي المعكوس	سينه ^-1 س
جيب التمام الزائدي المعكوس	كوش ^-1 ×
الظل القطعي المعكوس	تانه ^-1 x