Деривативни правила

Производни правила и закони. Таблица за производни на функции.

• Производно определение
• Деривативни правила
• Таблица за производни на функции
• Производни примери

Производно определение

Производната на функция е съотношението на разликата в стойността на функцията f (x) в точки x + Δx и x с Δx, когато Δx е безкрайно малка. Производната е функционален наклон или наклон на допирателната линия в точка x.

 

Второ производно

Второто производно се дава от:

Или просто изведете първата производна:

N-то производно

В н -ия производно се изчислява чрез извличане е (х) п пъти.

На н ия деривати е равна на производно на (п-1) производно:

f ^{( n )} ( x ) = [ f ^{( n -1)} ( x )] '

Пример:

Намерете четвъртата производна на

f ( x ) = 2 x ⁵

f ⁽⁴⁾ ( x ) = [2 x ⁵ ] "" "= [10 x ⁴ ]" "= [40 x ³ ]" = = 120 x ² ] '= 240 x

Производно на графика на функция

Производната на функция е наклонът на тангенциалната линия.

Деривативни правила

Правило за производна сума	( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )
Правило за производни продукти	( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )
Правило за производно производно
Правило за производна верига	f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Правило за производна сума

Когато a и b са константи.

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Пример:

Намерете производната на:

3 x ² + 4 x.

Според правилото за суми:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x ² , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x ² + 4 x ) '= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

Правило за производни продукти

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Правило за производно производно

Правило за производна верига

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Това правило може да се разбере по-добре с обозначението на Лагранж:

Функционално линейно приближение

За малък Δx можем да получим приближение до f (x ₀ + Δx), когато знаем f (x ₀ ) и f '(x ₀ ):

f ( x ₀ + Δ x ) ≈ f ( x ₀ ) + f '( x ₀ ) ⋅Δ x

Таблица за производни на функции

Име на функцията	Функция	Производно
	f ( x )	f '( x )
Постоянно	конст	0
Линейна	x	1
Мощност	x a	брадва a- 1
Експоненциално	д х	д х
Експоненциално	а х	a x ln a
Естествен логаритъм	ln ( x )
Логаритъм	log b ( x )
Синус	грях х	cos x
Косинус	cos x	-грех x
Допирателна	тен x
Arcsine	arcsin x
Аркозин	arccos x
Арктангенс	арктан х
Хиперболичен синус	sinh x	cosh x
Хиперболичен косинус	cosh x	sinh x
Хиперболичен тангенс	tanh x
Обратен хиперболичен синус	sinh -1 x
Обратен хиперболичен косинус	cosh -1 x
Обратен хиперболичен тангенс	tanh -1 x

Производни примери

Пример # 1

f ( x ) = x ³ +5 x ² + x +8

f ' ( x ) = 3 x ² + 2⋅5 x + 1 + 0 = 3 x ² +10 x +1

Пример # 2

f ( x ) = грях (3 x ² )

Когато прилагате правилото на веригата:

f ' ( x ) = cos (3 x ² ) ⋅ [3 x ² ]' = cos (3 x ² ) ⋅ 6 x

Втори тест за производни

Когато първата производна на функция е нула в точка x ₀ .

f '( x ₀ ) = 0

Тогава второто производно в точка x ₀ , f "(x ₀ ), може да посочи вида на тази точка:

 

f "( x 0 )/ 0	местен минимум
f "( x 0 ) <0	локален максимум
f "( x 0 ) = 0	неопределен

 

---

Вижте също

• Смятане
• Лапласова трансформация ( ℒ  )
• Символи за смятане