Afledte regler

Afledte regler og love. Afledte af funktionstabel.

• Derivat definition
• Afledte regler
• Afledte af funktionstabel
• Afledte eksempler

Derivat definition

Den afledte af en funktion er forholdet mellem forskellen i funktionsværdien f (x) i punkterne x + Δx og x med Δx, når Δx er uendelig lille. Derivatet er funktionshældningen eller hældningen af ​​tangentlinjen ved punkt x.

 

Andet afledt

Det andet derivat er givet af:

Eller udled blot det første derivat:

Niende derivat

Den n th derivat beregnes ved at udlede f (x) n gange.

Det n -derivat er lig med derivatet af (n-1) -derivatet:

f ^{( n )} ( x ) = [ f ^{( n -1)} ( x )] '

Eksempel:

Find det fjerde afledte af

f ( x ) = 2 x ⁵

f ⁽⁴⁾ ( x ) = [2 x ⁵ ] '' '[10 x ⁴ ]' '= [40 x ³ ]' '= [120 x ² ]' = 240 x

Afledt på graf af funktion

Den afledte af en funktion er skråningen af ​​den tangentielle linje.

Afledte regler

Derivatregel	( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )
Derivatregel	( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )
Afledt kvotientregel
Derivat kæde regel	f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Derivatregel

Når a og b er konstanter.

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Eksempel:

Find afledningen af:

3 x ² + 4 x.

Ifølge sumreglen:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x ² , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x ² + 4 x ) '= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

Derivatregel

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Afledt kvotientregel

Derivat kæde regel

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Denne regel kan bedre forstås med Lagrange's notation:

Funktion lineær tilnærmelse

For lille Δx kan vi få en tilnærmelse til f (x ₀ + Δx), når vi kender f (x ₀ ) og f '(x ₀ ):

f ( x ₀ + Δ x ) ≈ f ( x ₀ ) + f '( x ₀ ) ⋅Δ x

Afledte af funktionstabel

Funktionsnavn	Fungere	Afledte
	f ( x )	f '( x )
Konstant	konst	0
Lineær	x	1
Strøm	x a	økse a- 1
Eksponentiel	e x	e x
Eksponentiel	a x	a x ln a
Naturlig logaritme	ln ( x )
Logaritme	log b ( x )
Sinus	synd x	cos x
Cosine	cos x	-sin x
Tangent	tan x
Arcsine	bueform x
Arccosine	arccos x
Arktangent	arctan x
Hyperbolisk sinus	sinh x	cosh x
Hyperbolisk cosinus	cosh x	sinh x
Hyperbolsk tangens	tanh x
Invers hyperbolsk sinus	sinh -1 x
Omvendt hyperbolsk cosinus	cosh -1 x
Omvendt hyperbolsk tangens	tanh -1 x

Afledte eksempler

Eksempel nr. 1

f ( x ) = x ³ +5 x ² + x +8

f ' ( x ) = 3 x ² + 2⋅5 x + 1 + 0 = 3 x ² +10 x +1

Eksempel 2

f ( x ) = sin (3 x ² )

Ved anvendelse af kædereglen:

f ' ( x ) = cos (3 x ² ) ⋅ [3 x ² ]' = cos (3 x ² ) ⋅ 6 x

Anden afledt test

Når det første afledte af en funktion er nul ved punktet x ₀ .

f '( x ₀ ) = 0

Derefter kan det andet afledte ved punkt x ₀ , f '' (x ₀ ) angive typen af ​​det punkt:

 

f '' ( x 0 )/ 0	lokalt minimum
f '' ( x 0 ) <0	lokalt maksimum
f '' ( x 0 ) = 0	ubestemt

 

---

Se også

• Calculus
• Laplace-transformation ( ℒ  )
• Calculus symboler