Laplace Transform

Laplace-transform konverterer en tidsdomæne-funktion til s-domæne-funktion ved integration fra nul til uendelig

af tidsdomæne-funktionen ganget med e ^-st .

Laplace-transformen bruges til hurtigt at finde løsninger til differentialligninger og integraler.

Derivation i tidsdomænet transformeres til multiplikation med s i s-domænet.

Integration i tidsdomænet omdannes til division af s i s-domænet.

Laplace-transformfunktion

Laplace-transformeringen er defineret med L {} -operatoren:

$F (s) = \ mathcal {L} \ left \ {f (t) \ right \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt$

Den inverse Laplace-transformation kan beregnes direkte.

Normalt er den inverse transformation givet fra transformatortabellen.

Funktionsnavn	Tidsdomæne-funktion	Laplace-transformation
Funktionsnavn	f ( t )	F ( s ) = L { f ( t )}
Konstant	1	$\ frac {1} {s}$
Lineær	t	$\ frac {1} {s ^ 2}$
Strøm	t ⁿ	$\ frac {n!} {s ^ {n + 1}}$
Strøm	t ^a	Γ ( a +1) ⋅ s ^{- ( a +1)}
Eksponent	e ^ved	$\ frac {1} {sa}$
Sinus	synd ved	$\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}$
Cosine	cos ved	$\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}$
Hyperbolisk sinus	sinh ved	$\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}$
Hyperbolisk cosinus	kos ved	$\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}$
Voksende sinus	t synd ved	$\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}$
Voksende cosinus	t cos at	$\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}$
Råbende sinus	e ^-at sin ωt	$\ frac {\ omega} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}$
Råtnende cosinus	e ^-at cos ωt	$\ frac {s + a} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}$
Delta-funktion	δ ( t )	1
Forsinket delta	δ ( ta )	e- ^som

Ejendomsnavn	Tidsdomæne-funktion	Laplace-transformation	Kommentar
	f ( t )	F ( s )
Lineæritet	af ( t ) + bg ( t )	aF ( s ) + bG ( s )	a , b er konstante
Skalaændring	f ( ved )	$\ frac {1} {a} F \ left (\ frac {s} {a} \ right)$	a / 0
Flytte	e ^-at f ( t )	F ( s + a )
Forsinke	f ( ta )	e ^{- som} F ( s )
Afledning	$\ frac {df (t)} {dt}$	sF ( s ) - f (0)
N-th afledning	$\ frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0) -...- f ^{( n -1)} (0)
Strøm	t ⁿ f ( t )	$(-1) ^ n \ frac {d ^ nF (s)} {ds ^ n}$
Integration	$\ int_ {0} ^ {t} f (x) dx$	$\ frac {1} {s} F (s)$
Gensidig	$\ frac {1} {t} f (t)$	$\ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx$
Konvolution	f ( t ) * g ( t )	F ( s ) ⋅ G ( s )	* er konvolutionsoperatør
Periodisk funktion	f ( t ) = f ( t + T )	$\ frac {1} {1-e ^ {- sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- sx} f (x) dx$