Dabiskais logaritms - ln (x)

Dabiskais logaritms ir skaitļa bāzes e logaritms.

Dabiskā logaritma definīcija

Kad

e y = x

Tad bāzes x logaritms ir

ln ( x ) = log e ( x ) = y

 

E konstante vai Eilera numurs ir:

e ≈ 2,71828183

Ln kā eksponenciālās funkcijas apgrieztā funkcija

Dabiskā logaritma funkcija ln (x) ir eksponenciālās funkcijas e x apgrieztā funkcija .

Ja x/ 0,

f ( f -1 ( x )) = e ln ( x ) = x

Vai

f -1 ( f ( x )) = ln ( e x ) = x

Dabiskā logaritma likumi un īpašības

Kārtulas nosaukums Noteikums Piemērs
Produkta noteikums

ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )

ln (3 ∙ 7) = ln (3) + ln (7)
Quotient likums

ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )

ln (3 / 7) = ln (3) - ln (7)
Jaudas noteikums

ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )

ln (2 8 ) = 8 ∙ ln (2)
atvasinājums
 f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x  
neatņemams
 ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C  
Negatīvā skaitļa ln
 ln ( x ) nav definēts, ja x ≤ 0  
ln no nulles
 ln (0) nav definēts  
 
Viens no tiem
 ln (1) = 0  
Bezgalības ln
 lim ln ( x ) = ∞, kad x → ∞  
Eulera identitāte ln (-1) = i π  

 

Logaritma produkta noteikums

X un y reizināšanas logaritms ir x logaritma un y logaritma summa.

log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )

Piemēram:

log 10 (3 ∙ 7) = log 10 (3) + log 10 (7)

Logaritma koeficienta noteikums

X un y dalījuma logaritms ir x un y logaritma starpība.

log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )

Piemēram:

log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)

Logaritma jaudas noteikums

X, kas paaugstināts līdz y jaudai, logaritms ir y reizes lielāks par x logaritmu.

log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

Piemēram:

log 10 (2 8 ) = 8 ∙ log 10 (2)

Dabiskā logaritma atvasinājums

Dabiskā logaritma funkcijas atvasinājums ir abpusējā funkcija.

Kad

f ( x ) = ln ( x )

F (x) atvasinājums ir:

f ' ( x ) = 1 / x

Dabiskā logaritma neatņemama sastāvdaļa

Dabiskā logaritma funkcijas integrālu izsaka:

Kad

f ( x ) = ln ( x )

F (x) integrālis ir:

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln no 0

Dabiskais nulles logaritms nav noteikts:

ln (0) nav definēts

Kad x tuvojas nullei, x dabiskā logaritma 0 robeža ir mīnus bezgalība:

Ln no 1

Dabiskais logaritms vienam ir nulle:

ln (1) = 0

Ln bezgalība

Bezgalības dabiskā logaritma robeža, kad x tuvojas bezgalībai, ir vienāds ar bezgalību:

lim ln ( x ) = ∞, kad x → ∞

Komplekss logaritms

Kompleksam skaitlim z:

z = re iθ = x + iy

Kompleksais logaritms būs (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))

Ln (x) grafiks

ln (x) nav definēts reālām pozitīvām x vērtībām:

Dabisko logaritmu tabula

x ln x
0 nenoteikts
0 + - ∞
0,0001 -9,210340
0,001 -6,907755
0,01 -4.605170
0.1 -2,302585
1 0
2 0.693147
e ≈ 2,7183 1
3 1.098612
4 1.386294
5 1.609438
6 1,791759
7 1.945910
8 2.079442
9 2.197225
10 2.302585
20 2.995732
30 3.401197
40 3.688879
50 3.912023
60 4.094345
70 4.248495
80 4.382027
90 4.499810
100 4.605170
200 5.298317
300 5.703782
400 5.991465
500 6.214608
600 6.396930
700 6.551080
800 6.684612
900 6.802395
1000 6.907755
10000 9.210340

 

Logaritma noteikumi ►

 

Skatīt arī

Advertising

ALGEBRA
ĀTRAS TABULAS