Logaritmo natural - ln (x)

El logaritmo natural es el logaritmo en base e de un número.

Definición de logaritmo natural

Cuando

e y = x

Entonces el logaritmo base e de x es

ln ( x ) = log e ( x ) = y

 

La constante e o el número de Euler es:

e ≈ 2,71828183

Ln como función inversa de la función exponencial

La función logaritmo natural ln (x) es la función inversa de la función exponencial e x .

Para x/ 0,

f ( f -1 ( x )) = e ln ( x ) = x

O

f -1 ( f ( x )) = ln ( e x ) = x

Reglas y propiedades del logaritmo natural

Nombre de la regla Regla Ejemplo
Regla del producto

ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )

ln (3 ∙ 7) = ln (3) + ln (7)
Regla del cociente

ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )

ln (3 / 7) = ln (3) - ln (7)
Regla de poder

ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )

ln (2 8 ) = 8 ∙ ln (2)
en derivada
 f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x  
en integral
 ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C  
ln de número negativo
 ln ( x ) no está definido cuando x ≤ 0  
en cero
 ln (0) no está definido  
 
en uno
 ln (1) = 0  
en el infinito
 lim ln ( x ) = ∞, cuando x → ∞  
Identidad de Euler ln (-1) = yo π  

 

Regla de producto de logaritmo

El logaritmo de la multiplicación de xey es la suma del logaritmo de xy el logaritmo de y.

log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )

Por ejemplo:

log 10 (3 ∙ 7) = log 10 (3) + log 10 (7)

Regla del cociente de logaritmos

El logaritmo de la división de xey es la diferencia del logaritmo de xy el logaritmo de y.

log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )

Por ejemplo:

log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)

Regla de potencia de logaritmo

El logaritmo de x elevado a la potencia de y es y multiplicado por el logaritmo de x.

log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

Por ejemplo:

log 10 (2 8 ) = 8 ∙ log 10 (2)

Derivada del logaritmo natural

La derivada de la función logaritmo natural es la función recíproca.

Cuando

f ( x ) = ln ( x )

La derivada de f (x) es:

f ' ( x ) = 1 / x

Integral de logaritmo natural

La integral de la función logaritmo natural viene dada por:

Cuando

f ( x ) = ln ( x )

La integral de f (x) es:

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln de 0

El logaritmo natural de cero no está definido:

ln (0) no está definido

El límite cercano a 0 del logaritmo natural de x, cuando x tiende a cero, es menos infinito:

Ln de 1

El logaritmo natural de uno es cero:

ln (1) = 0

Ln de infinito

El límite del logaritmo natural del infinito, cuando x se acerca al infinito es igual al infinito:

lim ln ( x ) = ∞, cuando x → ∞

Logaritmo complejo

Para el número complejo z:

z = re iθ = x + iy

El logaritmo complejo será (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))

Gráfica de ln (x)

ln (x) no está definido para valores reales no positivos de x:

Tabla de logaritmos naturales

x en x
0 indefinido
0 + - ∞
0,0001 -9.210340
0,001 -6.907755
0,01 -4.605170
0,1 -2.302585
1 0
2 0,693147
e ≈ 2.7183 1
3 1.098612
4 1.386294
5 1.609438
6 1.791759
7 1.945910
8 2.079442
9 2.197225
10 2.302585
20 2.995732
30 3.401197
40 3.688879
50 3.912023
60 4.094345
70 4.248495
80 4.382027
90 4.499810
100 4.605170
200 5.298317
300 5.703782
400 5.991465
500 6.214608
600 6.396930
700 6.551080
800 6.684612
900 6.802395
1000 6.907755
10000 9.210340

 

Reglas de logaritmo ►

 

Ver también

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