Natuurlijke logaritme - ln (x)

Natuurlijke logaritme is de logaritme met de grondtal e van een getal.

Definitie van natuurlijke logaritme

Wanneer

e y = x

Dan is de logaritme van x met grondtal e

ln ( x ) = logboek e ( x ) = y

 

De constante e of het getal van Euler is:

e ≈ 2,71828183

Ln als inverse functie van exponentiële functie

De natuurlijke logaritmefunctie ln (x) is de inverse functie van de exponentiële functie e x .

Voor x/ 0,

f ( f -1 ( x )) = e ln ( x ) = x

Of

f -1 ( f ( x )) = ln ( e X ) = x

Regels en eigenschappen van natuurlijke logaritme

Regelnaam Regel Voorbeeld
Productregel

ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )

ln (3 ∙ 7) = ln (3) + ln (7)
Quotiënt regel

ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )

ln (3 / 7) = ln (3) - ln (7)
Machtsregel

ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )

ln (2 8 ) = 8 ∙ ln (2)
ln derivaat
 f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x  
ln integraal
 ∫ ln ( X ) dx = X ∙ (ln ( X ) - 1) + C  
ln van negatief getal
 ln ( x ) is niet gedefinieerd wanneer x ≤ 0  
ln van nul
 ln (0) is niet gedefinieerd  
 
ln van een
 ln (1) = 0  
ln van oneindigheid
 lim ln ( x ) = ∞, wanneer x → ∞  
Euler's identiteit ln (-1) = ik π  

 

Logaritme-productregel

De logaritme van de vermenigvuldiging van x en y is de som van logaritme van x en logaritme van y.

logboek b ( x ∙ y ) = logboek b ( x ) + logboek b ( y )

Bijvoorbeeld:

logboek 10 (3 ∙ 7) = logboek 10 (3) + logboek 10 (7)

Logaritme-quotiëntregel

De logaritme van de deling van x en y is het verschil van logaritme van x en logaritme van y.

logboek b ( x / y ) = logboek b ( x ) - logboek b ( y )

Bijvoorbeeld:

log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)

Logaritme machtsregel

De logaritme van x verheven tot de macht van y is y maal de logaritme van x.

logboek b ( x y ) = y ∙ logboek b ( x )

Bijvoorbeeld:

logboek 10 (2 8 ) = 8 ∙ logboek 10 (2)

Afgeleide van natuurlijke logaritme

De afgeleide van de natuurlijke logaritmefunctie is de reciproque functie.

Wanneer

f ( x ) = ln ( x )

De afgeleide van f (x) is:

f ' ( x ) = 1 / x

Integraal van natuurlijke logaritme

De integraal van de natuurlijke logaritmefunctie wordt gegeven door:

Wanneer

f ( x ) = ln ( x )

De integraal van f (x) is:

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln van 0

De natuurlijke logaritme van nul is niet gedefinieerd:

ln (0) is niet gedefinieerd

De limiet nabij 0 van de natuurlijke logaritme van x, wanneer x nul nadert, is min oneindig:

Ln van 1

De natuurlijke logaritme van één is nul:

ln (1) = 0

Ln van oneindigheid

De limiet van de natuurlijke logaritme van oneindig, wanneer x oneindig nadert, is gelijk aan oneindig:

lim ln ( x ) = ∞, wanneer x → ∞

Complexe logaritme

Voor complex getal z:

z = re iθ = x + iy

De complexe logaritme is (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + Y 2 )) + i · arctan ( y / x ))

Grafiek van ln (x)

ln (x) is niet gedefinieerd voor echte niet-positieve waarden van x:

Tabel met natuurlijke logaritmen

x ln x
0 ongedefinieerd
0 + - ∞
0.0001 -9.210340
0,001 -6.907755
0,01 -4.605170
0.1 -2.302585
1 0
2 0,693147
e ≈ 2,7183 1
3 1.098612
4 1.386294
5 1.609438
6 1.791759
7 1.945910
8 2.079442
9 2.197225
10 2.302585
20 2.995732
30 3.401197
40 3.688879
50 3.912023
60 4.094345
70 4.248495
80 4.382027
90 4.499810
100 4.605170
200 5.298317
300 5.703782
400 5,991465
500 6.214608
600 6.396930
700 6.551080
800 6.684612
900 6.802395
1000 6.907755
10000 9.210340

 

Regels van logaritme ►

 

Zie ook

Advertising

ALGEBRA
SNELLE TABELLEN