Naturlig logaritme - ln (x)

Naturlig logaritme er logaritmen til basen e av et tall.

• Naturlig logaritme (ln) definisjon
• Natural logarithm (ln) regler og egenskaper
  • Derivat av naturlig logaritme (ln)
  • Integral av naturlig logaritme (ln)
• Kompleks logaritme
• Graf av ln (x)
• Naturlige logaritmer (ln) tabell
• Naturlig logaritmekalkulator

Definisjon av naturlig logaritme

Når

e ^y = x

Da er basis e logaritmen til x

ln ( x ) = log _e ( x ) = y

 

Den e konstant eller Eulers tall er:

e ≈ 2.71828183

Ln som invers funksjon av eksponensiell funksjon

Den naturlige logaritmefunksjonen ln (x) er den omvendte funksjonen til den eksponensielle funksjonen e ^x .

For x/ 0,

f ( f ^-1 ( x )) = e ^{ln ( x )} = x

Eller

f ^-1 ( f ( x )) = ln ( e ^x ) = x

Naturlige logaritmeregler og egenskaper

Regelnavn	Regel	Eksempel
Produktregel	ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )	ln (3 ∙ 7) = ln (3) + ln (7)
Kvotientregel	ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )	ln (3 / 7) = ln (3) - ln (7)
Maktregel	ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )	ln (2 8 ) = 8 ∙ ln (2)
I derivat	f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
integrert	∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C
ln negativt tall	ln ( x ) er udefinert når x ≤ 0
I null	ln (0) er udefinert
I en	ln (1) = 0
I uendelig	lim ln ( x ) = ∞, når x → ∞
Eulers identitet	ln (-1) = i π

 

Logaritmeproduktregel

Logaritmen til multiplikasjonen av x og y er summen av logaritmen til x og logaritmen til y.

log _b ( x ∙ y ) = log _b ( x ) + log _b ( y )

For eksempel:

logg ₁₀ (3 ∙ 7) = logg ₁₀ (3) + logg ₁₀ (7)

Logaritmekvotientregel

Logaritmen til divisjonen av x og y er forskjellen på logaritmen til x og logaritmen til y.

log _b ( x / y ) = log _b ( x ) - log _b ( y )

For eksempel:

log ₁₀ (3 / 7) = log ₁₀ (3) - log ₁₀ (7)

Logaritmens maktregel

Logaritmen til x hevet til kraften til y er y ganger logaritmen til x.

log _b ( x ^y ) = y ∙ log _b ( x )

For eksempel:

logg ₁₀ (2 ⁸ ) = 8 ∙ logg ₁₀ (2)

Derivat av naturlig logaritme

Derivatet av den naturlige logaritmefunksjonen er den gjensidige funksjonen.

Når

f ( x ) = ln ( x )

Derivatet av f (x) er:

f ' ( x ) = 1 / x

Integral av naturlig logaritme

Integralen av den naturlige logaritmefunksjonen er gitt av:

Når

f ( x ) = ln ( x )

Integralet av f (x) er:

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln på 0

Den naturlige logaritmen til null er udefinert:

ln (0) er udefinert

Grensen nær 0 av den naturlige logaritmen til x, når x nærmer seg null, er minus uendelig:

Ln av 1

Den naturlige logaritmen til en er null:

ln (1) = 0

Ln av uendelig

Grensen for uendelig logaritme når x nærmer seg uendelig er lik uendelig:

lim ln ( x ) = ∞, når x → ∞

Kompleks logaritme

For kompleks nummer z:

z = re ^iθ = x + iy

Den komplekse logaritmen vil være (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Logg z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x ² + y ² )) + i · arctan ( y / x ))

Graf av ln (x)

ln (x) er ikke definert for reelle ikke-positive verdier av x:

Naturlig logaritmisk tabell

x	ln x
0	udefinert
0 +	- ∞
0,0001	-9.210340
0,001	-6,907755
0,01	-4,605170
0,1	-2,302585
1	0
2	0,693147
e ≈ 2.7183	1
3	1.098612
4	1.386294
5	1.609438
6	1.791759
7	1,945910
8	2.079442
9	2.197225
10	2.302585
20	2.995732
30	3.401197
40	3.688879
50	3.912023
60	4.094345
70	4.248495
80	4.382027
90	4.499810
100	4.605170
200	5.298317
300	5.703782
400	5.991465
500	6.214608
600	6.396930
700	6.551080
800	6,684612
900	6.802395
1000	6,907755
10000	9.210340

 

Regler for logaritme ►

 

---

Se også

• Logaritme (logg)
• Naturlig logaritmekalkulator
• Naturlig logaritme på null
• Naturlig logaritme av en
• Naturlig logaritme av e
• Naturlig uendelig logaritme
• Naturlig logaritme med negativt tall
• Ln invers funksjon
• ln (x) graf
• Naturlig logaritmebord
• Logaritmekalkulator
• e konstant