Laplaceova preobrazba

Laplaceova transformacija pretvori funkcijo časovne domene v funkcijo s-domene z integracijo od nič do neskončnosti

funkcije časovne domene, pomnoženo z e ^-st .

Laplaceova transformacija se uporablja za hitro iskanje rešitev za diferencialne enačbe in integrale.

Izpeljava v časovni domeni se v s-domeni pretvori v množenje s s.

Integracija v časovni domeni se spremeni v delitev s v s-domeni.

Laplasova funkcija pretvorbe

Laplasova transformacija je definirana z operatorjem L {}:

$F (s) = \ mathcal {L} \ levo \ {f (t) \ desno \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt$

Inverzno Laplasovo transformacijo lahko izračunamo neposredno.

Običajno je inverzna transformacija podana iz tabele transformacij.

Ime funkcije	Funkcija časovne domene	Laplasova transformacija
Ime funkcije	f ( t )	F ( s ) = L { f ( t )}
Stalno	1	$\ frac {1} {s}$
Linearno	t	$\ frac {1} {s ^ 2}$
Moč	t ⁿ	$\ frac {n!} {s ^ {n + 1}}$
Moč	t ^a	Γ ( 1) ⋅ y ^{- (}¹⁾
Eksponent	e ^na	$\ frac {1} {sa}$
Sinus	greh pri	$\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}$
Cosine	cos at	$\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}$
Hiperbolični sinus	sinh at	$\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}$
Hiperbolični kosinus	cosh pri	$\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}$
Gojenje sinusa	t sin na	$\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}$
Gojenje kosinusa	t cos at	$\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}$
Razpadajoči sinus	e ^-at sin ωt	$\ frac {\ omega} {\ levo (s + a \ desno) ^ 2 + \ omega ^ 2}$
Propadajoči kosinus	e ^-at cos ωt	$\ frac {s + a} {\ levo (s + a \ desno) ^ 2 + \ omega ^ 2}$
Delta funkcija	δ ( t )	1
Zakasnjena delta	δ ( ta )	e ^-as

Ime lastnosti	Funkcija časovne domene	Laplasova transformacija	Komentiraj
	f ( t )	F ( s )
Linearnost	af ( t ) + bg ( t )	aF ( s ) + bG ( s )	a , b so konstantne
Sprememba lestvice	f ( pri )	$\ frac {1} {a} F \ levo (\ frac {s} {a} \ desno)$	a / 0
Shift	e ^-at f ( t )	F ( s + a )
Zamuda	f ( ta )	e ^{- kot} F ( s )
Izpeljava	$\ frac {df (t)} {dt}$	sF ( s ) - f (0)
N-ta izpeljava	$\ frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0) -...- f ^{( n -1)} (0)
Moč	t ⁿ f ( t )	$(-1) ^ n \ frac {d ^ nF (s)} {ds ^ n}$
Integracija	$\ int_ {0} ^ {t} f (x) dx$	$\ frac {1} {s} Ž (i)$
Vzajemno	$\ frac {1} {t} f (t)$	$\ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx$
Konvolucija	f ( t ) * g ( t )	F ( s ) ⋅ G ( s )	* je operater konvolucije
Periodična funkcija	f ( t ) = f ( t + T )	$\ frac {1} {1-e ^ {- sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- sx} f (x) dx$