Logaritma Kuralları

Baz b logaritma bir dizi olduğu üs Topladığımız gerektiğini tabanını numarasını almak için.

Logaritma tanımı

B, y'nin kuvvetine yükseltildiğinde x'e eşittir:

b y = x

O zaman x'in taban b logaritması y'ye eşittir:

günlük b ( x ) = y

Örneğin ne zaman:

2 4 = 16

Sonra

günlük 2 (16) = 4

Üstel fonksiyonun ters fonksiyonu olarak logaritma

Logaritmik fonksiyon,

y = günlük b ( x )

üstel fonksiyonun ters fonksiyonudur,

x = b y

Dolayısıyla, x'in (x/ 0) logaritmasının üstel fonksiyonunu hesaplarsak,

f ( f -1 ( x )) = b log b ( x ) = x

Veya x'in üstel fonksiyonunun logaritmasını hesaplarsak,

f -1 ( f ( x )) = günlük b ( b x ) = x

Doğal logaritma (ln)

Doğal logaritma , e tabanına bir logaritmadır:

ln ( x ) = log e ( x )

Tüm e sabit bir sayıdır:

e = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ left (1+ \ frac {1} {x} \ right) ^ x = 2.718281828459 ...

veya

e = \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ left (1+ \ sağ x) ^ \ frac {1} {x}

 

Bakınız: Doğal logaritma

Ters logaritma hesaplaması

Ters logaritma (veya anti logaritma), b tabanını y logaritmasına yükselterek hesaplanır:

x = günlük -1 ( y ) = b y

Logaritmik fonksiyon

Logaritmik fonksiyonun temel biçimi şu şekildedir:

f ( x ) = günlük b ( x )

Logaritma kuralları

Kural adı Kural
Logaritma çarpım kuralı
 log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Logaritma bölüm kuralı
 günlük b ( x / y ) = günlük b ( x ) - günlük b ( y )
Logaritma kuvvet kuralı
 günlük b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Logaritma temel geçiş kuralı
 log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Logaritma temel değişiklik kuralı
 log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Logaritmanın türevi
 f ( x ) = kütük b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))
Logaritmanın integrali
 ∫ kütük b ( x ) dx = x ∙ (kütük b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Negatif sayının logaritması
 x ≤ 0 olduğunda log b ( x ) tanımsızdır
0'ın logaritması
 günlük b (0) tanımsız
\ lim_ {x \ ila 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty
1'in logaritması
 günlük b (1) = 0
Tabanın logaritması
 günlük b ( b ) = 1
Sonsuzluğun logaritması
 lim log b ( x ) = ∞, x → ∞ olduğunda

Bakınız: Logaritma kuralları

 

Logaritma çarpım kuralı

X ve y'nin çarpımının logaritması, x'in logaritması ile y'nin logaritmasının toplamıdır.

log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )

Örneğin:

günlük 10 (3 ∙ 7) = günlük 10 (3) + günlük 10 (7)

Logaritma bölüm kuralı

X ve y'nin bölünmesinin logaritması, x'in logaritması ile y'nin logaritmasının farkıdır.

günlük b ( x / y ) = günlük b ( x ) - günlük b ( y )

Örneğin:

Giriş 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)

Logaritma kuvvet kuralı

X'in y'nin kuvvetine yükseltilen logaritması, y çarpı x'in logaritmasıdır.

günlük b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

Örneğin:

günlük 10 (2 8 ) = 8 ∙ günlük 10 (2)

Logaritma temel geçiş kuralı

C'nin temel b logaritması 1 bölü b'nin c tabanlı logaritmasıdır.

log b ( c ) = 1 / log c ( b )

Örneğin:

günlük 2 (8) = 1 / günlük 8 (2)

Logaritma temel değişiklik kuralı

X'in temel b logaritması, x'in taban c logaritmasının b'nin temel c logaritmasına bölünmesiyle elde edilir.

log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )

Örneğin, hesap makinesinde log 2 (8) 'i hesaplamak için, tabanı 10 olarak değiştirmemiz gerekir:

günlük 2 (8) = günlük 10 (8) / günlük 10 (2)

Bakınız: günlük bazında değişiklik kuralı

Negatif sayının logaritması

X <= 0 olduğunda x'in taban b reel logaritması, x negatif veya sıfıra eşit olduğunda tanımsızdır:

x ≤ 0 olduğunda log b ( x ) tanımsızdır

Bakınız: negatif sayının günlüğü

0'ın logaritması

Sıfırın temel b logaritması tanımsızdır:

günlük b (0) tanımsız

X sıfıra yaklaştığında, x'in taban b logaritmasının sınırı eksi sonsuzdur:

\ lim_ {x \ ila 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty

Bakınız: sıfırın günlüğü

1'in logaritması

Birin temel b logaritması sıfırdır:

günlük b (1) = 0

Örneğin, bir'in iki tabanındaki logaritması sıfırdır:

günlük 2 (1) = 0

Bakın: birinin günlüğü

Sonsuzluğun logaritması

X sonsuza yaklaştığında, x'in taban b logaritmasının sınırı sonsuza eşittir:

lim log b ( x ) = ∞, x → ∞ olduğunda

Bakınız: sonsuzluk günlüğü

Tabanın logaritması

B'nin temel b logaritması birdir:

günlük b ( b ) = 1

Örneğin, ikinin iki temel logaritması birdir:

günlük 2 (2) = 1

Logaritma türevi

Ne zaman

f ( x ) = günlük b ( x )

Sonra f (x) 'in türevi:

f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))

Bakınız: log türevi

Logaritma integrali

X'in logaritmasının integrali:

∫ kütük b ( x ) dx = x ∙ (kütük b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C

Örneğin:

∫ kütük 2 ( x ) dx = x ∙ (kütük 2 ( x ) - 1 / ln (2) ) + C

Logaritma yaklaşımı

günlük 2 ( x ) ≈ n + ( x / 2 n - 1),

Karmaşık logaritma

Karmaşık sayı z için:

z = re iθ = x + iy

Karmaşık logaritma şöyle olacaktır (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))

Logaritma problemleri ve cevapları

Sorun 1

İçin x bulun

günlük 2 ( x ) + günlük 2 ( x -3) = 2

Çözüm:

Ürün kuralını kullanarak:

günlük 2 ( x ∙ ( x -3)) = 2

Logaritma formunu logaritma tanımına göre değiştirme:

x ∙ ( x -3) = 2 2

Veya

x 2 -3 x -4 = 0

İkinci dereceden denklemi çözme:

x 1,2 = [3 ± √ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4, -1

Logaritma negatif sayılar için tanımlanmadığından yanıt şudur:

x = 4

Sorun 2

İçin x bulun

günlük 3 ( x +2) - günlük 3 ( x ) = 2

Çözüm:

Bölüm kuralını kullanarak:

günlük 3 (( x +2) / x ) = 2

Logaritma formunu logaritma tanımına göre değiştirme:

( x +2) / x = 3 2

Veya

x +2 = 9 x

Veya

8 x = 2

Veya

x = 0.25

Günlük grafiği (x)

log (x), x'in pozitif olmayan gerçek değerleri için tanımlanmamıştır:

Logaritma tablosu

x günlük 10 x günlük 2 x log e x
0 Tanımsız Tanımsız Tanımsız
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0.0001 -4 -13.287712 -9.210340
0.001 -3 -9.965784 -6.907755
0.01 -2 -6.643856 -4.605170
0.1 -1 -3.321928 -2.302585
1 0 0 0
2 0.301030 1 0.693147
3 0.477121 1.584963 1.098612
4 0.602060 2 1.386294
5 0,698970 2.321928 1.609438
6 0.778151 2,584963 1.791759
7 0,845098 2.807355 1.945910
8 0.903090 3 2.079442
9 0.954243 3.169925 2.197225
10 1 3.321928 2.302585
20 1.301030 4.321928 2.995732
30 1.477121 4.906891 3.401197
40 1.602060 5,321928 3.688879
50 1.698970 5,643856 3.912023
60 1.778151 5.906991 4,094345
70 1,845098 6.129283 4.248495
80 1.903090 6,321928 4.382027
90 1.954243 6,491853 4.499810
100 2 6.643856 4.605170
200 2.301030 7.643856 5.298317
300 2.477121 8.228819 5.703782
400 2.602060 8.643856 5.991465
500 2.698970 8.965784 6.214608
600 2.778151 9.228819 6,396930
700 2.845098 9.451211 6.551080
800 2.903090 9.643856 6.684612
900 2.954243 9.813781 6.802395
1000 3 9.965784 6.907755
10000 4 13.287712 9.210340

 

Logaritma hesaplayıcı ►

 

Ayrıca bakınız

Advertising

CEBİR
HIZLI TABLOLAR