Um die Basis von b nach c zu ändern, können wir die logarithmische Änderung der Basisregel verwenden. Der Basis-b-Logarithmus von x ist gleich dem Basis-c-Logarithmus von x geteilt durch den Basis-c-Logarithmus von b:
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
log 2 (100) = log 10 (100) / log 10 (2) = 2 / 0,30103 = 6,64386
log 3 (50) = log 8 (50) / log 8 (3) = 1,8812853 / 0,5283208 = 3,5608766
Das Erhöhen von b mit der Potenz der Basis b des Logarithmus von x ergibt x:
(1) x = b log b ( x )
Das Erhöhen von c mit der Potenz der Basis c des Logarithmus von b ergibt b:
(2) b = c log c ( b )
Wenn wir (1) nehmen und b durch c log c ( b ) (2) ersetzen , erhalten wir:
(3) x = b log b ( x ) = ( c log c ( b ) ) log b ( x ) = c log c ( b ) × log b ( x )
Durch Anwenden von log c () auf beiden Seiten von (3):
log c ( x ) = log c ( c log c ( b ) × log b ( x ) )
Durch Anwenden der Logarithmus-Potenzregel :
log c ( x ) = [log c ( b ) × log b ( x )] × log c ( c )
Da log c ( c ) = 1 ist
log c ( x ) = log c ( b ) × log b ( x )
Oder
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )