Looduslik logaritm - ln (x)

Looduslik logaritm on arvu aluse e logaritm.

• Loodusliku logaritmi (ln) määratlus
• Loodusliku logaritmi (ln) reeglid ja omadused
  • Loodusliku logaritmi tuletis (ln)
  • Loodusliku logaritmi lahutamatu osa (ln)
• Kompleksne logaritm
• Graafik ln (x)
• Looduslike logaritmide (ln) tabel
• Loodusliku logaritmi kalkulaator

Loodusliku logaritmi määratlus

Millal

e ^y = x

Siis põhineb x-i logaritm

ln ( x ) = log _e ( x ) = y

 

E pidev või Euleri arv on:

e ≈ 2,71828183

Ln eksponentsiaalfunktsiooni pöördfunktsioonina

Loodusliku logaritmi funktsioon ln (x) on eksponentsiaalfunktsiooni e ^x pöördfunktsioon .

Kui x/ 0,

f ( f ^-1 ( x )) = e ^{ln ( x )} = x

Või

f- ¹ ( f ( x )) = ln ( e ^x ) = x

Loodusliku logaritmi reeglid ja omadused

Reegli nimi	Reegel	Näide
Toote reegel	ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )	ln (3 ∙ 7) = ln (3) + ln (7)
Quotient reegel	ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )	ln (3 / 7) = ln (3) - ln (7)
Võimu reegel	ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )	ln (2 8 ) = 8 ∙ ln (2)
tuletis	f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
lahutamatu	∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C
Negatiivse arvu ln	ln ( x ) on määratlemata, kui x ≤ 0
ln nullist	ln (0) pole määratletud
Ühest	ln (1) = 0
ln lõpmatus	lim ln ( x ) = ∞, kui x → ∞
Euleri identiteet	ln (-1) = i π

 

Logaritmi toote reegel

X ja y korrutamise logaritm on x ja y logaritmi summa.

log _b ( x ∙ y ) = log _b ( x ) + log _b ( y )

Näiteks:

log ₁₀ (3 ∙ 7) = log ₁₀ (3) + log ₁₀ (7)

Logaritmi jagatisreegel

X ja y jagunemise logaritm on x ja y logaritmi erinevus.

log _b ( x / y ) = log _b ( x ) - log _b ( y )

Näiteks:

log ₁₀ (3 / 7) = log ₁₀ (3) - log ₁₀ (7)

Logaritmi võimsuse reegel

Y-i astmele tõstetud x-i logaritm on y-kordne x-i logaritm.

log _b ( x ^y ) = y ∙ log _b ( x )

Näiteks:

log ₁₀ (2 ⁸ ) = 8 ∙ log ₁₀ (2)

Loodusliku logaritmi tuletis

Loodusliku logaritmi funktsiooni tuletis on vastastikune funktsioon.

Millal

f ( x ) = ln ( x )

F (x) tuletis on:

f ' ( x ) = 1 / x

Loodusliku logaritmi lahutamatu osa

Loodusliku logaritmi funktsiooni integraali annab:

Millal

f ( x ) = ln ( x )

F (x) integraal on:

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln 0-st

Nulli loomulik logaritm pole määratletud:

ln (0) pole määratletud

Kui x läheneb nullile, on naturaalse logaritmi 0 lähedal olev piir, kui x läheneb nullile, miinus lõpmatus:

Ln 1-st

Ühe looduslik logaritm on null:

ln (1) = 0

Ln lõpmatus

Lõpmatuse loodusliku logaritmi piir, kui x läheneb lõpmatusele, on võrdne lõpmatusega:

lim ln ( x ) = ∞, kui x → ∞

Kompleksne logaritm

Kompleksarvu z korral:

z = re ^iθ = x + iy

Kompleksne logaritm on (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Logi z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x ² + y ² )) + i · arktaan ( y / x ))

Graafik ln (x)

ln (x) ei ole määratletud x tegelike mitte-positiivsete väärtuste korral:

Looduslike logaritmide tabel

x	ln x
0	määratlemata
0 +	- ∞
0,0001	-9,210340
0,001	-6,907755
0,01	-4,605170
0,1	-2,302585
1	0
2	0,693147
e ≈ 2,7183	1
3	1.098612
4	1.386294
5	1.609438
6	1,791759
7	1.945910
8	2.079442
9	2.197225
10	2.302585
20	2.995732
30	3.401197
40	3.688879
50	3.912023
60	4.094345
70	4.248495
80	4.382027
90	4.499810
100	4.605170
200	5.298317
300	5.703782
400	5.991465
500	6.214608
600	6.396930
700	6.551080
800	6.684612
900	6.802395
1000	6.907755
10000	9.210340

 

Logaritmi reeglid ►

 

---

Vaata ka

• Logaritm (log)
• Loodusliku logaritmi kalkulaator
• Nulli loomulik logaritm
• Ühe loomulik logaritm
• Looduslik logaritm e
• Lõputuse loomulik logaritm
• Negatiivse arvu looduslik logaritm
• Ln pöördfunktsioon
• ln (x) graafik
• Loodusliku logaritmi tabel
• Logaritmi kalkulaator
• e konstantne