Afin de changer la base de b à c, nous pouvons utiliser le changement de logarithme de la règle de base. Le logarithme de base b de x est égal au logarithme de base c de x divisé par le logarithme de base c de b:
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
log 2 (100) = log 10 (100) / log 10 (2) = 2 / 0,30103 = 6,64386
log 3 (50) = log 8 (50) / log 8 (3) = 1,8812853 / 0,5283208 = 3,5608766
Élever b avec la puissance du logarithme de base b de x donne x:
(1) x = b log b ( x )
Élever c avec la puissance du logarithme de base c de b donne b:
(2) b = c log c ( b )
Lorsque nous prenons (1) et remplaçons b par c log c ( b ) (2), nous obtenons:
(3) x = b log b ( x ) = ( c log c ( b ) ) log b ( x ) = c log c ( b ) × log b ( x )
En appliquant log c () des deux côtés de (3):
log c ( x ) = log c ( c log c ( b ) × log b ( x ) )
En appliquant la règle de puissance logarithmique :
log c ( x ) = [log c ( b ) × log b ( x )] × log c ( c )
Puisque log c ( c ) = 1
log c ( x ) = log c ( b ) × log b ( x )
Ou
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )