Prirodni logaritam - ln (x)

Prirodni logaritam je logaritam baze e broja.

Definicija prirodnog logaritma

Kada

e y = x

Tada je osnovni e logaritam x

ln ( x ) = log e ( x ) = y

 

E konstantna ili Eulerov broj je:

e ≈ 2,71828183

Ln kao inverzna funkcija eksponencijalne funkcije

Funkcija prirodnog logaritma ln (x) je inverzna funkcija eksponencijalne funkcije e x .

Za x/ 0,

f ( f -1 ( x )) = e ln ( x ) = x

Ili

f -1 ( f ( x )) = ln ( e x ) = x

Pravila i svojstva prirodnog logaritma

Naziv pravila Pravilo Primjer
Pravilo proizvoda

ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )

ln (3 ∙ 7) = ln (3) + ln (7)
Pravilo količnika

ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )

ln (3 / 7) = u (3) - ln (7)
Pravilo moći

ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )

ln (2 8 ) = 8 ∙ ln (2)
U izvedenici
 f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x  
U cjelini
 ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C  
ln negativnog broja
 ln ( x ) nije definirano kada je x ≤ 0  
nula
 ln (0) nije definirano  
 
U jednom
 ln (1) = 0  
U beskonačnosti
 lim ln ( x ) = ∞, kada je x → ∞  
Eulerov identitet ln (-1) = i π  

 

Pravilo logaritamskog proizvoda

Logaritam množenja x i y zbroj je logaritma x i logaritma y.

log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )

Na primjer:

log 10 (3 ∙ 7) = log 10 (3) + log 10 (7)

Pravilo količnika logaritma

Logaritam dijeljenja x i y je razlika logaritma x i logaritma y.

log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )

Na primjer:

log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)

Pravilo snage logaritma

Logaritam x podignut u potenciju y je y puta logaritam x.

log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

Na primjer:

log 10 (2 8 ) = 8 ∙ log 10 (2)

Derivat prirodnog logaritma

Izvod funkcije prirodnog logaritma je recipročna funkcija.

Kada

f ( x ) = ln ( x )

Izvod f (x) je:

f ' ( x ) = 1 / x

Integral prirodnog logaritma

Integral funkcije prirodnog logaritma dan je:

Kada

f ( x ) = ln ( x )

Integral f (x) je:

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln od 0

Prirodni logaritam nule nije definiran:

ln (0) nije definirano

Granica blizu 0 prirodnog logaritma x, kada se x približi nuli, je minus beskonačnost:

Ln od 1

Prirodni logaritam jedinice jedan je nula:

ln (1) = 0

Ln beskonačnosti

Granica prirodnog logaritma beskonačnosti, kada se x približava beskonačnosti jednaka je beskonačnosti:

lim ln ( x ) = ∞, kada je x → ∞

Složeni logaritam

Za kompleksni broj z:

z = re iθ = x + iy

Složeni logaritam bit će (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arktan ( y / x ))

Grafikon ln (x)

ln (x) nije definiran za stvarne pozitivne vrijednosti x:

Tablica prirodnih logaritama

x ln x
0 nedefiniran
0 + - ∞
0,0001 -9,210340
0,001 -6,907755
0,01 -4.605170
0,1 -2.302585
1 0
2 0,693147
e ≈ 2.7183 1
3 1.098612
4 1.386294
5 1,609438
6 1.791759
7 1.945910
8 2.079442
9 2.197225
10 2,302585
20 2.995732
30 3,401197
40 3.688879
50 3,912023
60 4.094345
70 4.248495
80 4.382027
90 4,499810
100 4,605170
200 5.298317
300 5,703782
400 5,991465
500 6.214608
600 6,396930
700 6,551080
800 6,684612
900 6,802395
1000 6,907755
10000 9,210340

 

Pravila logaritma ►

 

Vidi također

Advertising

ALGEBRA
BRZE TABLICE