Logaritamska pravila

Baza b logaritam od niza je eksponent da moramo podići bazu kako bi dobili broj.

Definicija logaritma

Kada se b podigne na stepen y jednako je x:

b y = x

Tada je osnovni b logaritam x jednak y:

log b ( x ) = y

Na primjer kada:

2 4 = 16

Zatim

log 2 (16) = 4

Logaritam kao inverzna funkcija eksponencijalne funkcije

Logaritamska funkcija,

y = log b ( x )

je inverzna funkcija eksponencijalne funkcije,

x = b y

Dakle, ako izračunamo eksponencijalnu funkciju logaritma x (x/ 0),

f ( f -1 ( x )) = b log b ( x ) = x

Ili ako izračunamo logaritam eksponencijalne funkcije x,

f -1 ( f ( x )) = log b ( b x ) = x

Prirodni logaritam (ln)

Prirodni logaritam je logaritam za bazu e:

ln ( x ) = log e ( x )

Kada je e konstanta broj:

e = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ lijevo (1+ \ frac {1} {x} \ desno) ^ x = 2,718281828459 ...

ili

e = \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ lijevo (1+ \ desno x) ^ \ frac {1} {x}

 

Vidi: Prirodni logaritam

Izračun inverznog logaritma

Obrnuti logaritam (ili anti logaritam) izračunava se podizanjem osnove b na logaritam y:

x = log -1 ( y ) = b y

Logaritamska funkcija

Logaritamska funkcija ima osnovni oblik:

f ( x ) = log b ( x )

Logaritamska pravila

Naziv pravila Pravilo
Pravilo logaritamskog proizvoda
 log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Pravilo količnika logaritma
 log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Pravilo snage logaritma
 log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Logaritamsko pravilo osnovne sklopke
 log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Pravilo promjene baze logaritma
 log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Izvedenica logaritma
 f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))
Integral logaritma
 ∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Logaritam negativnog broja
 log b ( x ) nije definiran kada je x ≤ 0
Logaritam 0
 log b (0) nije definiran
\ lim_ {x \ do 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty
Logaritam 1
 log b (1) = 0
Logaritam baze
 log b ( b ) = 1
Logaritam beskonačnosti
 lim log b ( x ) = ∞, kada je x → ∞

Vidi: Logaritamska pravila

 

Pravilo logaritamskog proizvoda

Logaritam množenja x i y zbroj je logaritma x i logaritma y.

log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )

Na primjer:

log 10 (3 ∙ 7) = log 10 (3) + log 10 (7)

Pravilo količnika logaritma

Logaritam dijeljenja x i y je razlika logaritma x i logaritma y.

log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )

Na primjer:

log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)

Pravilo snage logaritma

Logaritam x podignut u potenciju y je y puta logaritam x.

log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

Na primjer:

log 10 (2 8 ) = 8 ∙ log 10 (2)

Logaritamsko pravilo osnovne sklopke

Logaritam baze b c je 1 podijeljen s logaritmom baze c b.

log b ( c ) = 1 / log c ( b )

Na primjer:

log 2 (8) = 1 / log 8 (2)

Pravilo promjene baze logaritma

Logaritam baze b za x je logaritam baze c za x podijeljen s logaritmom baze c iz b.

log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )

Na primjer, da bismo izračunali log 2 (8) u kalkulatoru, moramo promijeniti bazu na 10:

log 2 (8) = log 10 (8) / log 10 (2)

Vidi: pravilo promjene baze dnevnika

Logaritam negativnog broja

Realni logaritam baze b od x kada je x <= 0 nije definiran kada je x negativan ili jednak nuli:

log b ( x ) nije definiran kada je x ≤ 0

Vidi: dnevnik negativnog broja

Logaritam 0

Logaritam baze n nula je nedefiniran:

log b (0) nije definiran

Granica osnovnog b logaritma x, kada se x približi nuli, je minus beskonačnost:

\ lim_ {x \ do 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty

Vidi: dnevnik nule

Logaritam 1

Logaritam baze b jedan je nula:

log b (1) = 0

Na primjer, osnovni dva logaritma jedan je nula:

log 2 (1) = 0

Vidi: zapisnik jednog

Logaritam beskonačnosti

Granica osnovnog b logaritma x, kada se x približava beskonačnosti, jednaka je beskonačnosti:

lim log b ( x ) = ∞, kada je x → ∞

Vidi: dnevnik beskonačnosti

Logaritam baze

Logaritam baze b je jedan:

log b ( b ) = 1

Na primjer, osnovni logaritam dva od dva je jedan:

log 2 (2) = 1

Izvod logaritma

Kada

f ( x ) = log b ( x )

Tada je izvod f (x):

f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))

Vidi: log derivat

Integralni logaritam

Integral logaritma x:

∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C

Na primjer:

∫ log 2 ( x ) dx = x ∙ (log 2 ( x ) - 1 / ln (2) ) + C

Približavanje logaritma

log 2 ( x ) ≈ n + ( x / 2 n - 1),

Složeni logaritam

Za kompleksni broj z:

z = re iθ = x + iy

Složeni logaritam bit će (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arktan ( y / x ))

Logaritamski problemi i odgovori

Problem # 1

Pronađite x za

log 2 ( x ) + log 2 ( x -3) = 2

Riješenje:

Upotreba pravila o proizvodu:

log 2 ( x ∙ ( x -3)) = 2

Promjena oblika logaritma prema definiciji logaritma:

x ∙ ( x -3) = 2 2

Ili

x 2 -3 x -4 = 0

Rješavanje kvadratne jednadžbe:

x 1,2 = [3 ± √ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4, -1

Budući da logaritam nije definiran za negativne brojeve, odgovor je:

x = 4

Problem # 2

Pronađite x za

log 3 ( x +2) - log 3 ( x ) = 2

Riješenje:

Korištenje pravila količnika:

log 3 (( x +2) / x ) = 2

Promjena oblika logaritma prema definiciji logaritma:

( x +2) / x = 3 2

Ili

x +2 = 9 x

Ili

8 x = 2

Ili

x = 0,25

Grafikon dnevnika (x)

log (x) nije definiran za stvarne pozitivne vrijednosti x:

Tablica logaritama

x zapisnik 10 x zapisnik 2 x log e x
0 nedefiniran nedefiniran nedefiniran
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13,287712 -9,210340
0,001 -3 -9,965784 -6,907755
0,01 -2 -6,643856 -4.605170
0,1 -1 -3,321928 -2.302585
1 0 0 0
2 0,301030 1 0,693147
3 0,477121 1,584963 1.098612
4 0,602060 2 1.386294
5 0,698970 2.321928 1,609438
6 0,778151 2,584963 1.791759
7 0,845098 2,807355 1.945910
8 0,903090 3 2.079442
9 0,954243 3,169925 2.197225
10 1 3.321928 2,302585
20 1,301030 4,321928 2.995732
30 1.477121 4.906891 3,401197
40 1,602060 5.321928 3.688879
50 1,698970 5,643856 3,912023
60 1.778151 5,906991 4.094345
70 1,845098 6.129283 4.248495
80 1,903090 6,321928 4.382027
90 1.954243 6.491853 4,499810
100 2 6,643856 4,605170
200 2,301030 7,643856 5.298317
300 2.477121 8,228819 5,703782
400 2,602060 8,643856 5,991465
500 2.698970 8,965784 6.214608
600 2.778151 9,228819 6,396930
700 2,845098 9,451211 6,551080
800 2,903090 9,643856 6,684612
900 2,954243 9,813781 6,802395
1000 3 9,965784 6,907755
10000 4 13.287712 9,210340

 

Logaritamski kalkulator ►

 

Vidi također

Advertising

ALGEBRA
BRZE TABLICE