Regole logaritmiche

Il logaritmo in base b di un numero è l' esponente di cui abbiamo bisogno per aumentare la base per ottenere il numero.

Definizione logaritmo

Quando b è elevato alla potenza di y è uguale a x:

b y = x

Allora il logaritmo in base b di x è uguale a y:

log b ( x ) = y

Ad esempio quando:

2 4 = 16

Poi

log 2 (16) = 4

Logaritmo come funzione inversa della funzione esponenziale

La funzione logaritmica,

y = log b ( x )

è la funzione inversa della funzione esponenziale,

x = b y

Quindi se calcoliamo la funzione esponenziale del logaritmo di x (x/ 0),

f ( f -1 ( x )) = b log b ( x ) = x

Oppure se calcoliamo il logaritmo della funzione esponenziale di x,

f -1 ( f ( x )) = log b ( b x ) = x

Logaritmo naturale (ln)

Il logaritmo naturale è un logaritmo in base e:

ln ( x ) = log e ( x )

Quando la costante è il numero:

e = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ left (1+ \ frac {1} {x} \ right) ^ x = 2,718281828459 ...

o

e = \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ left (1+ \ right x) ^ \ frac {1} {x}

 

Vedi: logaritmo naturale

Calcolo del logaritmo inverso

Il logaritmo inverso (o anti logaritmo) viene calcolato elevando la base b al logaritmo y:

x = log -1 ( y ) = b y

Funzione logaritmica

La funzione logaritmica ha la forma base di:

f ( x ) = log b ( x )

Regole logaritmiche

Nome regola Regola
Regola del prodotto logaritmo
 log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Regola del quoziente logaritmico
 log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Regola del potere logaritmico
 log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Regola di commutazione di base del logaritmo
 log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Regola di modifica della base del logaritmo
 log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Derivata del logaritmo
 f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))
Integrale del logaritmo
 ∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Logaritmo del numero negativo
 log b ( x ) non è definito quando x ≤ 0
Logaritmo di 0
 log b (0) non è definito
\ lim_ {x \ to 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty
Logaritmo di 1
 log b (1) = 0
Logaritmo della base
 log b ( b ) = 1
Logaritmo dell'infinito
 lim log b ( x ) = ∞, quando x → ∞

Vedi: regole del logaritmo

 

Regola del prodotto logaritmo

Il logaritmo della moltiplicazione di xey è la somma del logaritmo di xe del logaritmo di y.

log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )

Per esempio:

log 10 (3 ∙ 7) = log 10 (3) + log 10 (7)

Regola del quoziente logaritmico

Il logaritmo della divisione di x e y è la differenza tra il logaritmo di x e il logaritmo di y.

log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )

Per esempio:

log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)

Regola del potere logaritmico

Il logaritmo di x elevato alla potenza di y è y volte il logaritmo di x.

log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

Per esempio:

log 10 (2 8 ) = 8 ∙ log 10 (2)

Regola di commutazione di base del logaritmo

Il logaritmo in base b di c è 1 diviso per il logaritmo in base c di b.

log b ( c ) = 1 / log c ( b )

Per esempio:

log 2 (8) = 1 / log 8 (2)

Regola di modifica della base del logaritmo

Il logaritmo in base b di x è il logaritmo in base c di x diviso per il logaritmo in base c di b.

log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )

Ad esempio, per calcolare il log 2 (8) nella calcolatrice, dobbiamo cambiare la base in 10:

log 2 (8) = log 10 (8) / log 10 (2)

Vedere: regola di modifica della base del registro

Logaritmo del numero negativo

Il logaritmo reale in base b di x quando x <= 0 non è definito quando x è negativo o uguale a zero:

log b ( x ) non è definito quando x ≤ 0

Vedi: log del numero negativo

Logaritmo di 0

Il logaritmo in base b di zero non è definito:

log b (0) non è definito

Il limite del logaritmo in base b di x, quando x si avvicina a zero, è meno infinito:

\ lim_ {x \ to 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty

Vedi: log di zero

Logaritmo di 1

Il logaritmo in base b di uno è zero:

log b (1) = 0

Ad esempio, il logaritmo in base due di uno è zero:

log 2 (1) = 0

Vedi: log di uno

Logaritmo dell'infinito

Il limite del logaritmo in base b di x, quando x tende a infinito, è uguale a infinito:

lim log b ( x ) = ∞, quando x → ∞

Vedi: log dell'infinito

Logaritmo della base

Il logaritmo in base b di b è uno:

log b ( b ) = 1

Ad esempio, il logaritmo in base due di due è uno:

log 2 (2) = 1

Derivata del logaritmo

quando

f ( x ) = log b ( x )

Quindi la derivata di f (x):

f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))

Vedi: derivata logaritmica

Integrale logaritmo

L'integrale del logaritmo di x:

∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C

Per esempio:

∫ log 2 ( x ) dx = x ∙ (log 2 ( x ) - 1 / ln (2) ) + C

Approssimazione logaritmica

log 2 ( x ) ≈ n + ( x / 2 n - 1),

Logaritmo complesso

Per il numero complesso z:

z = re iθ = x + iy

Il logaritmo complesso sarà (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))

Problemi e risposte di logaritmo

Problema n. 1

Trova x per

log 2 ( x ) + log 2 ( x -3) = 2

Soluzione:

Utilizzando la regola del prodotto:

log 2 ( x ∙ ( x -3)) = 2

Modifica della forma del logaritmo in base alla definizione del logaritmo:

x ∙ ( x -3) = 2 2

Oppure

x 2 -3 x -4 = 0

Risolvere l'equazione quadratica:

x 1,2 = [3 ± √ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4, -1

Poiché il logaritmo non è definito per i numeri negativi, la risposta è:

x = 4

Problema n. 2

Trova x per

log 3 ( x +2) - log 3 ( x ) = 2

Soluzione:

Utilizzando la regola del quoziente:

log 3 (( x +2) / x ) = 2

Modifica della forma del logaritmo in base alla definizione del logaritmo:

( x +2) / x = 3 2

Oppure

x +2 = 9 x

Oppure

8 x = 2

Oppure

x = 0,25

Grafico del log (x)

log (x) non è definito per valori reali non positivi di x:

Tabella dei logaritmi

x log 10 x log 2 x log e x
0 non definito non definito non definito
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0.0001 -4 -13.287712 -9.210340
0.001 -3 -9.965784 -6.907755
0,01 -2 -6.643856 -4.605170
0.1 -1 -3.321928 -2.302585
1 0 0 0
2 0.301030 1 0.693147
3 0.477121 1.584963 1.098612
4 0.602060 2 1.386294
5 0.698970 2.321928 1.609438
6 0.778151 2.584963 1.791759
7 0.845098 2.807355 1.945910
8 0.903090 3 2.079442
9 0.954243 3.169925 2.197225
10 1 3.321928 2.302585
20 1.301030 4.321928 2.995732
30 1.477121 4.906891 3.401197
40 1.602060 5.321928 3.688879
50 1.698970 5.643856 3.912023
60 1.778151 5.906991 4.094345
70 1.845098 6.129283 4.248495
80 1.903090 6.321928 4.382027
90 1.954243 6.491853 4.499810
100 2 6.643856 4.605170
200 2.301030 7.643856 5.298317
300 2.477121 8.228819 5.703782
400 2.602060 8.643856 5.991465
500 2.698970 8.965784 6.214608
600 2.778151 9.228819 6.396930
700 2.845098 9.451211 6.551080
800 2.903090 9.643856 6.684612
900 2.954243 9.813781 6.802395
1000 3 9.965784 6.907755
10000 4 13.287712 9.210340

 

Calcolatrice logaritmo ►

 

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